Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Um projétil é disparado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra, com uma velocidade inicial de 10 km/s. Desprezando a resistência do ar, calcule:

a) A distância h acima da superfície da Terra que o projétil alcança;

b) A velocidade de escape do projétil (aproximadamente);

c) Faça o gráfico da energia potencial gravitacional a partir da superfície da terra. Indique

claramente as escalas do gráfico mostrando aproximadamente o valor de h.

Dados aproximados:

massa da Terra M   =   6 x 10 24   k g ; raio da Terra R   =   6 x 10 6   m ; constante de gravitação universal G   =   7 x 10 - 11   N m 2 / k g 2 .

Passo 1

a) O projétil, inicialmente na superfície (altura igual ao raio da Terra: R) e velocidade 10 km/s, sofre atração gravitacional e sobe, diminuindo a velocidade, até chegar num ponto máximo (altura R+h), onde ele fica com velocidade nula.

Por isso, para resolver isso por conservação de energia, precisamos incluir o termo potencial gravitacional,

E = K + U g = 1 2 m v 2 - G M m d

Onde m é a massa do projétil e M a massa da Terra.

Por conservação de energia,

E s u p e r f í c i e = E m á x i m o

Como no ponto máximo o projétil vai estar parado, sua energia cinética será zero. Na superfície, d s u p e r f í c i e = R , o raio da Terra, e no ponto máximo será d m á x i m o = R + h .

1 2 m v 2 - G M m R = 0 - G M m R + h

G M m R + h = G M m R - m v 2 2

R + h = G M m G M m R - m v 2 2 = 2 R G M m 2 G M m - m R v 2

Botando m do denominador em evidência, e cortando com o de cima:

h = 2 R G M 2 G M - R v 2 - R

h = 2 ∙ ( 6 × 10 6 ) ∙ ( 7 × 10 - 11 ) ∙ ( 6 × 10 24 ) 2 ∙ ( 7 × 10 - 11 ) ∙ ( 6 × 10 24 ) - ( 6 × 10 6 ) ∙ 10 × 10 3 2 - 6 × 10 6

h = 15 × 10 6   m

Passo 2

b) A velocidade de escape é a velocidade mínima para o projétil sair da influência da fora gravitacional, ou seja, em que ele tenha energia cinética suficiente para compensar a energia potencial gravitacional,

1 2 m v e s c a p e 2 = G M m R

v e s c a p e 2 = 2 G M R = 2 ∙ 7 × 10 - 11 ∙ 6 × 10 24 6 × 10 6

v e s c a p e = 14 × 10 7 = 12 × 10 3   m / s  

Passo 3

c) Vamos fazer o gráfico da energia potencial gravitacional, que é

U g = - G M m d

Na superfície, a distância vai ser o próprio raio da Terra,

U d = R = - G M m R = - 7 x 10 - 11 ∙ 6 x 10 24 ∙ m 6 x 10 6 = 7 x 10 7 m   J

Para uma altura de 1000 km:

U d = R + 10 5 = = - 7 x 10 - 11 ∙ 6 x 10 24 ∙ m 6 x 10 6 + 10 6 = 6,0 x 10 7 m   J

Para altura de 10 7 m :

U d = R + 10 7 = = - 7 x 10 - 11 ∙ 6 x 10 24 ∙ m 6 x 10 6 + 10 7 = 2,6 x 10 7 m   J

Para 10 9   m :

U d = R + 10 9 = = - 7 x 10 - 11 ∙ 6 x 10 24 ∙ m 6 x 10 6 + 10 9 = 4,2 x 10 5 m   J

Para 10 11   m :

U d = R + 10 11 = = - 7 x 10 - 11 ∙ 6 x 10 24 ∙ m 6 x 10 6 + 10 11 = 4,2 x 10 3 m   J

Para 10 15   m :

U d = R + 10 15 = = - 7 x 10 - 11 ∙ 6 x 10 24 ∙ m 6 x 10 6 + 10 15 = 0,42   m   J

E quando estiver muito longe da superfície ( d → ∞ ),

lim d → ∞ ⁡ - G M m d = 0

Resposta

a) h = 15 × 10 6   m

b)

v e s c a p e = 12 × 10 3   m / s

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