Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

A energia necessária para levar um satélite até 1600   k m acima da superfície da Terra é maior do que a necessária para colocá-lo em órbita, uma vez que ele já esteja naquela altura?

Dados:

Constante gravitacional: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2

Raio da Terra: R T = 6,38 × 10 6   m

Massa da Terra: M T = 5,98 × 10 24   k g

Passo 1

Para responder isso, precisamos calcular duas energias, a primeira é a energia necessária para levar o satélite da superfície da Terra até uma altura de 1600   k m acima dessa superfície, enquanto a segunda é a energia necessária para colocá-lo em órbita nessa altura.

Depois de calculadas as duas energias vamos compará-las.

Passo 2

Para calcular a energia necessária para levar um satélite da superfície da Terra até uma altura de 1600   k m , basta calcularmos a diferença de energia potencial gravitacional U g .

A energia potencial gravitacional é dada por:

U g = - G M m r

Vamos calcular a variação dessa energia:

∆ U g = U f - U i

Passo 3

Inicialmente, o satélite está na superfície da Terra, então sua distância ao centro do planeta é o próprio raio da Terra:

r = R T

Assim:

U i = - G M m R T

Já na situação final, a distância do satélite ao centro da terra será sua altura h da superfície somada ao raio da Terra:

r = R T + 1600   k m

Passando para metros, temos:

r = R T + 1600 × 10 3

r = R T + 1,6 × 10 6

Então:

U f = - G M m R T + 1,6 × 10 6

Passo 4

Vamos calcular a variação:

∆ U g = - G M m R T + 1,6 × 10 6 - - G M m R T

∆ U g = G M m R T - G M m R T + 1,6 × 10 6

∆ U g = G M m 1 R T - 1 R T + 1,6 × 10 6

Essa será a energia necessária no primeiro caso (levar o satélite a 1600   k m ).

Passo 5

Já no segundo caso (colocá-lo em órbita), o satélite já está naquela altura, então não haverá variação de energia potencial gravitacional.

Entretanto, para colocá-lo em órbita, precisamos fazer o satélite sair do respouso e atingir a velocidade orbital para aquela altura de 1600   k m da superfície.

Então, precisamos fornecer uma quantidade de energia igual a variação de energia cinética que o satélite em órbita vai ter a partir do repouso:

∆ K = K f - K i

∆ K = K f - 0

∆ K = K f = m v 2 2

Passo 6

Para encontrar essa velocidade, basta igualarmos a força gravitacional com a força centrípeta:

F g = F c t p

G M m r 2 = m v 2 r

A distância r será a soma do raio da Terra R T com a altura a partir da superfície:

G M m R T + 1,6 × 10 6 2 = m v 2 R T + 1,6 × 10 6

G M m R T + 1,6 × 10 6 = m v 2

v 2 = G M R T + 1,6 × 10 6

Já podemos deixar essa velocidade elevada ao quadrado na malandragem de substituir isso na energia cinética K .

Passo 7

Assim, a variação de energia cinética será:

∆ K = m 2 G M R T + 1,6 × 10 6

∆ K = G M m 1 2 R T + 1,6 × 10 6

Passo 8

Agora, vamos comparar qual dos dois casos a energia é maior:

∆ U g = G M m 1 R T - 1 R T + 1,6 × 10 6 ∆ K = G M m 1 2 R T + 1,6 × 10 6

As duas energias ∆ U e ∆ K apresentam um termo multiplicando o fator G M m , então vamos substituir os valores numéricos nesse termo e encontrar qual é maior

Para ∆ U , temos:

∆ U g = G M m 1 6,38 × 10 6 - 1 6,38 × 10 6 + 1,6 × 10 6

∆ U g = G M m 1 6,38 × 10 6 - 1 7,98 × 10 6

∆ U g = G M m 1 6,38 × 10 6 - 1 7,98 × 10 6

∆ U g = G M m 3,14 × 10 - 8

Para ∆ K , temos:

∆ K = G M m 1 2 6,38 × 10 6 + 1,6 × 10 6

∆ K = G M m 1 2 7,98 × 10 6

∆ K = G M m 1 15,96 × 10 6

∆ K = G M m 6,26 × 10 - 8

Agora já podemos comparar as duas energias:

∆ U g = G M m 3,14 × 10 - 8 ∆ K = G M m 6,26 × 10 - 8

Como ambas apresentam o fator G M m em comum, podemos afirmar que a variação de energia cinética ∆ K vai ser maior que a variação de energia potencial ∆ U g :

∆ K > ∆ U g

Assim, descobrimos que a energia para colocar o satélite em órbita ∆ K é maior que a energia para levar o satélite da superfície da Terra até a altura de 1600   k m ∆ U g .

Então, a resposta da pergunta é não.

Resposta

Não, a energia para colocar o satélite em órbita K é maior que a energia para levar o satélite da superfície da Terra até a altura de 1600   k m ∆ U g .

∆ U g = G M m 3,14 × 10 - 8 ∆ K = G M m 6,26 × 10 - 8

∆ K > ∆ U g

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