Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

[Questão 12]

A figura ao lado mostra um foguete de massa m que descreve uma órbita elíptica em torno da Terra, onde c é a distância da Terra em relação ao centro da elipse e a é o semi-eixo maior da elipse. A massa da Terra é M . A única força que atua sobre o foguete é a atração gravitacional do planeta. No ponto A, o foguete tem velocidade de módulo v A . Com base nessas informações, responda as questões 11, 12 e 13.

No ponto A da órbita, o foguete ilustrado na figura anterior aciona seus propulsores por alguns segundos, gerando uma força que o coloca em uma órbita circular de raio r = a + c . Considerando que a força gerada pelos propulsores é instantânea e, portanto, que a distância do foguete ao planeta não muda durante sua aplicação, determine a variação de energia mecânica gerada pelos propulsores.

(A) ∆ E m = - G m M / r + m v A 2 / 2

(B) ∆ E m = G m M / r - m v A 2 / 2

(C) ∆ E m = m / 2 G M / r - v A 2

(D) ∆ E m = 0

(E) ∆ E m = 2 G m M / r - m v A 2 / 2

Passo 1

Quando o foguete aciona seus propulsores, sua velocidade muda de certa forma que sua órbita passa a ser circular.

Queremos achar a variação de energia mecânica ∆ E m ao longo dessa propulsão.

∆ E m = E m - E m 0

Passo 2

Como o enunciado despreza a mudança de posição do foguete nesse intervalo de tempo, suas energias potenciais gravitacionais serão as mesmas:

U g 0 = U g

Então, temos:

∆ E m = E m - E m 0

∆ E m = U g + K - U g 0 + K 0

∆ E m = K - K 0

Então, a variação de energia mecânica E m será apenas a variação de energia cinética ∆ K .

Passo 3

Quem é a energia cinética inicial K 0 ?

Como o foguete tem velocidade v A inicialmente, sua energia cinética será:

K 0 = m v A 2 2

Enquanto sua energia cinética final será:

K = m v 2 2

Passo 4

Para encontrar a velocidade v após a propulsão, vamos usar a informação de que sua órbita passa a ser circular.

Como a órbita é circular, a força gravitacional sobre o foguete age como força centrípeta, logo:

F c t p = F g

m v 2 r = G M m r 2

v 2 = G M r

Já vamos deixar a velocidade v elevada ao quadrado para entrar com esse valor na expressão de energia cinética.

Passo 5

Substituindo isso tudo na expressão de energia mecânica, temos:

∆ E m = K - K 0

∆ E m = m v 2 2 - m v A 2 2

∆ E m = m 2 v 2 - v A 2

∆ E m = m 2 G M r - v A 2

Assim temos nossa resposta da letra (C):

∆ E m = m / 2 G M / r - v A 2

Resposta

Letra (C)

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