Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Um satélite de massa igual a 220   k g move-se, inicialmente, numa órbita aproximadamente circular a 640   k m acima da superfície da Terra. Por várias razões, o satélite perde energia mecânica à taxa média de 1,40 × 10 5   J por revolução orbital. Adotando a aproximação razoável de que a trajetória seja “um círculo cujo raio diminui lentamente”, determine a distância do satélite à superfície da Terra após a 1500 ª revolução orbital.

Dados:

Constante gravitacional: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2

Raio da Terra: R T = 6,38 × 10 6   m

Massa da Terra: M T = 5,98 × 10 24   k g

Passo 1

Aqui temos um satélite em órbita a 640   k m acima da superfície da Terra.

Esse satélite perde um valor de 1,40 × 10 5   J a cada volta que ele completa na órbita, ou seja, após a 1500 ª volta, a energia mecânica do satélite vai ter diminuido em:

∆ E M = 1500 - 1,40 × 10 5   J

∆ E M = - 210 × 10 6   J

Queremos saber a qual distância o satélite vai estar após perder esse valor de energia.

Então, vamos partir exatamente dessa variação de energia mecânica para encontrar a distância na qual o satélite está orbitando.

∆ E M = E M - E M 0

Passo 2

A energia mecânica é dada pela soma da energia potencial gravitacional U com a energia cinética K :

E M = K + U

E M = m v 2 2 + - G M m r

Passo 3

Mas podemos encontrar uma expressão da velocidade orbital v em função da distância r . Basta igualarmos a força gravitacional com a força centrípeta:

F g = F c t p

G M m r 2 = m v 2 r

v = G M r

Passo 4

Substituindo esse valor da velocidade na expressão de enrgia mecânica, temos:

E M = m v 2 2 + - G M m r

E M = m 2 G M r - G M m r

Então, achamos aquela expressão bastante usada para a energia mecânica em função da distância r :

E M = - G M m 2 r

Passo 5

Agora, vamos voltar à variação da energia mecânica:

∆ E M = - 210 × 10 6   J

E M - E M 0 = - 210 × 10 6

- G M m 2 r f - - G M m 2 r 0 = - 210 × 10 6

Passo 6

Devemos prestar atenção às distâncias r .

A distância r é dada pela soma do raio da Terra R T com a altura h a partir da superfície da Terra. Então, temos que:

r 0 = R T + 640   k m r f = R T + h f

O raio inicial r 0 será:

r 0 = R T + 640 × 10 3

r 0 = 6,38 × 10 6 + 640 × 10 3

r 0 = 6,38 × 10 6 + 0,64 × 10 6

r 0 = 7,02 × 10 6   m

Passo 7

Substituindo isso na nossa expressão, temos:

- G M m 2 r f - - G M m 2 ( 7,02 × 10 6 ) = - 210 × 10 6

- G M m 2 r f = - 210 × 10 6 + - G M m 2 7,02 × 10 6

- G M m 2 r f = - 210 × 10 6 - G M m 2 7,02 × 10 6

G M m 2 r f = 210 × 10 6 + G M m 2 7,02 × 10 6

Aplicando os valores, temos:

6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 220 2 r f = 210 × 10 6 + 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 220 2 7,02 × 10 6

8,775 × 10 16 2 r f = 210 × 10 6 + 8,775 × 10 16 14 , 0 4 × 10 6

8,775 × 10 16 2 r f = 210 × 10 6 + 6,25 × 10 9

8,775 × 10 16 2 r f = 6,46 × 10 9

Isolando o r f , temos:

r f = 8,775 × 10 16 2 6,46 × 10 9

r f = 6,79 × 10 6   m

Passo 8

Por último, vamos achar a altura h f a partir da superfície da Terra:

r f = R T + h f

h f = r f - R T

h f = 6,79 × 10 6 - 6,38 × 10 6

h f = 412 × 10 3

Ou seja, a altura final do satélite a partir da superfície da Terra é de:

h f = 412   k m

Resposta

h f = 412   k m

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