Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Dois planetas têm a mesma massa, M. Cada planeta tem uma densidade constante, mas a densidade do planeta 2 é 8 vezes aquela do planeta 1. Objetos idênticos de massa m são colocados sobre as superfícies dos planetas. Qual é a relação aproximada entre a energia potencial gravitacional U 1 no planeta 1 e U 2 no planeta 2?

a) U 1 = 2   U 2

b) U 1 = U 2

c) U 1 = 0,5   U 2

d) U 1 = 8   U 2

e) U 1 = 1,2   U 2

Passo 1

A energia potencial gravitacional pode ser escrita de forma geral como

U = - G M m r

Mas como isso está relacionado com a densidade?

Lembra que a densidade ( ρ ) é

ρ = M V

Como os planetas são esferas,

ρ = M 4 3 π r 3

r = 3 M 4 π ρ 1 / 3

Passo 2

Substituindo r na energia potencial gravitacional

U = - G M m 3 M 4 π ρ 1 / 3

U = - 4 π ρ 3 1 / 3 G M 2 3 m

Comparando as energias dos dois planetas

U 1 U 2 = 4 π ρ 1 3 1 / 3 G M 1 2 / 3 m 4 π ρ 2 3 1 / 3 G M 2 2 / 3 m

Cortando tudo, dado que M 1 = M 2 e as massas m são iguais também

U 1 U 2 = ρ 1 ρ 2 1 / 3

Passo 3

Como ρ 2 = 8   ρ 1

U 1 U 2 = ρ 1 8 ρ 1 1 / 3

U 1 = 8 3   U 2 = U 2 2

Resposta

c) U 1 = 0,5   U 2

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