Enunciado

Um planeta de massa m orbita uma estrela de massa M. Considerando a massa da estrela muito maior que a do planeta, podemos descrever a energia mecânica E do sistema (constante) em termos do momento angular L (constante), da distância entre o planeta e a estrela r e de sua velocidade radial d r d t :

E = - G M m r + L 2 2 m r 2 + m r d r d t 2 = U e r + m r d r d t 2

Onde G é a constante gravitacional universal. Note que a contribuição da velocidade angular para a energia cinética é completamente descrita em termos do momento angular L e do momento de inércia I = mr2. A combinação desse termo com a energia potencial gravitacional dá origem a um potencial efetivo, Ue(r), dependente apenas de r.

(a) [1,0] Qual a distância re, correspondente ao mínimo da energia potencial efetiva?

(b) [1,0] Escreva a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações ao redor de re, em termos de r= r - re.

(c) [1,0] Calcule a frequência de oscilação ao redor de re.

Dê suas respostas em termos de M, m, L, G.

Passo 1

Ó, da equação que o problema nos deu para a energia, podemos tirar U e ( t ) :

- G M m r + L 2 2 m r 2 + m r d r d t 2 = U e r + m r d r d t 2

U e r = - G M m r + L 2 2 m r 2

Que é a energia potencial.

Lembrando lá do cálculo: sempre que a gente quer achar o mínimo ou máximo de alguma coisa, é só derivar e igualar a zero. Então:

d U e r d r = 0

d U e r d r = G M m r e 2 - L 2 m r e 3 = 0

r e = L 2 G M m 2

Passo 2

A força resultante no cara vai ser:

F r = - d U e d r = - G M m r 2 + L 2 m r 3

Aplicando a segunda lei de Newton:

F r = m d 2 r ( t ) d t 2 = - G M m r e 2 + L 2 m r e 3

Vamos usar r ' = r - r e , como o problema pediu, então r = r ' + r e . Trocando:

m d 2 r ' ( t ) d t 2 = - G M m ( r ' + r e ) 2 + L 2 m ( r ' + r e ) 3

Observação:

r ( t ) = r ' ( t ) + r e

d r ( t ) d t = d r ' ( t ) d t

d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 r ' ( t ) d t 2

Porque r e é constante!

Passo 3

Dá uma olhada na Matemática que vai rolar aqui:

( r ' + r e ) 2 = ( r ' + r e ) ( r ' + r e ) = r e r ' r e + 1 r e r ' r e + 1 = r e 2 r ' r e + 1 2

Da mesma forma:

( r ' + r e ) 3 = r e 3 r ' r e + 1 3

Vamos trocar agora:

m d 2 r ' ( t ) d t 2 = - G M m r e 2 r ' r e + 1 2 + L 2 m r e 3 r ' r e + 1 3

Substituindo r e = L 2 G M m 2 , vai ficar:

m d 2 r ' t d t 2 = - G 3 M 3 m 5 L 4 r ' r e + 1 2 + G 3 M 3 m 5 L 4 r ' r e + 1 3

m d 2 r ' t d t 2 = G 3 M 3 m 5 L 4 - r ' r e + 1 - 2 + r ' r e + 1 - 3

Passo 4

Agora que vem o pulo do gato! Vou fazer uma aproximação de ( u + 1 ) n ≈ 1 + n u , para u ≪ 1 . No caso, u vai ser igual a r ' r e . Então:

r ' r e + 1 - 2 = 1 - 2 r ' r e

r ' r e + 1 - 3 = 1 - 3 r ' r e

Trocando lá:

m d 2 r ' t d t 2 = G 3 M 3 m 5 L 4 - 1 + 2 r ' r e + 1 - 3 r ' r e

m d 2 r ' t d t 2 = G 3 M 3 m 5 L 4 - r ' r e

Trocando de novo o valor de r e :

m d 2 r ' t d t 2 = - G 4 M 4 m 7 L 6 r '

d 2 r ' t d t 2 = - G 4 M 4 m 6 L 6 r '

Passando tudo pra um lado só:

d 2 r ' t d t 2 + G 4 M 4 m 6 L 6 r ' = 0

r ' ¨ + G 4 M 4 m 6 L 6 r ' = 0

Chegamos então à EDO do movimento.

Passo 5

Comparando com a equação do movimento harmônico:

x ¨ + ω 0 2 x = 0

r ' ¨ + G 4 M 4 m 6 L 6 r ' = 0

Daí tiramos que ω 0 2 = G 4 M 4 m 6 L 6 . Então:

ω 0 = G 2 M 2 m 3 L 3

Ele tá pedindo a frequência de oscilação. Felizmente, temos uma fórmula que relaciona a frequência de oscilação com a frequência angular ω 0 :

ω 0 = 2 π f

Substituindo:

G 2 M 2 m 3 L 3 = 2 π f

f = G 2 M 2 m 3 2 π L 3

Resposta

a) r e = L 2 G M m 2

b) r ' ¨ + G 4 M 4 m 6 L 6 r ' = 0

c) f = G 2 M 2 m 3 2 π L 3

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