Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Em uma esfera maciça e homogênea de massa M e raio 2R centrada na origem foram feitas duas cavidades esféricas de raio R. Os centros das cavidades esféricas estão nas posições r 1 → = R y ^ e r 2 → = - R y ^ , como ilustrado na figura abaixo. Sabendo que uma massa m está na posição r → = r x ^ , faça o que é pedido abaixo.

a) Calcule a força gravitacional que atua na partícula de massa m.

b) Admita que a partícula de massa m está em uma órbita circular de raio r > R no plano XZ. Calcule o período de rotação.

c) Calcule a energia potencial gravitacional do sistema ilustrado na figura ao lado.

Passo 1

a) A gente pode calcular a densidade da esfera de raio 2R assim:

ρ = M 4 π 8 R 3 3

Essa esfera de raio 2R, se fosse maciça, exerceria sobre a partícula uma força:

F M → = - G M m r 2 x ^

Eu coloquei esse x ^ pra indicar que essa força é um vetor que aponta no sentido positivo do eixo x.

Masssssss como foram tiradas duas esferas menores da esfera grande, temos que descontar isso.

Vamos calcular a massa das esferas retiradas:

M 1 = M 2 = 4 π R 3 3 ρ

A massa da esfera maior é:

M = 4 π ( 2 R ) 3 3 ρ = 8 4 π R 3 ρ 3 = 8 M 1 = 8 M 2

Ou seja:

M 1 = M 2 = M / 8

O módulo da força de atração entre as esferas retiradas e a partícula, é:

F = G M 8 m d 2

F = G M m 8 d 2

Para cada! Em que d = r 2 + R 2 .

Passo 2

Esse negócio de vetores é um saco não é mesmo? Mas como a questão colocou ali, não tem como a gente resolver sem eles. Dá uma olhada aqui:

Os pontos 1 e 2 são os centros das esferas retiradas.

F 1 x = - F r d

F 1 y = F R d

F 2 x = - F r d

F 2 y = - F R d

Escrevendo em vetores agora:

F 1 = G M m 8 d 2 - r d x ^ + R d y ^

F 2 = G M m 8 d 2 - r d x ^ - R d y ^

Então a força total (finalmente) vai ser:

F → = - G M m r 2 x ^ - G M m 8 d 2 - r d x ^ - R d y ^ - G M m 8 d 2 - r d x ^ + R d y ^

F → = - G M m r 2 1 - r 3 4 ( r 2 + R 2 ) 3 / 2 x ^

Passo 3

b) Quando a massa estiver no plano XZ, a força vai ser igual à calculada no item anterior (graças a Deus). Essa força vai tá sempre apontando pra origem do sistema de coordenadas (ponto (0,0,0)) e vai ser a única força atuando na massa. Então vai ser igual à força centrípeta!

Podemos escrever:

F c p = m r ω 2 = m r ( 2 π T ) 2 = - G M m r 2 1 - r 3 4 ( r 2 + R 2 ) 3 / 2

Deus me free, é muita letra. Eu tirei o x ^ porque nessa conta só o que importa pra gente é o módulo da força.

Fazendo essa conta a gente vai achar:

T = 2 π r 3 / 2 G M 1 - r 3 4 ( r 2 + R 2 ) 3 / 2

Passo 4

c) Aqui a gente vai usar o princípio da superposição. A energia total vai ser a energia de interação da esfera de raio 2R com a massa m, menos a energia de interação entre as esferas menores e a massa m.

U M = - G M m r

U M / 8 = - G M m 8 d

Então:

U = U M - 2 U M / 8

U = - G M m r - 2 - G M m 8 d

U = - G M m r 1 - r 4 r 2 + R 2

UFAAAAAA

Resposta

a) F → = - G M m r 2 1 - r 3 4 ( r 2 + R 2 ) 3 / 2 x ^

b) T = 2 π r 3 / 2 G M 1 - r 3 4 ( r 2 + R 2 ) 3 / 2

c) U = - G M m r 1 - r 4 r 2 + R 2

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