Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Um objeto é abandonado do repouso a 500 k m de altura da superfície da Terra. Despreze a resistência do ar.

Dados: G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2 ; R = 6,37 ∙ 10 6 m (raio da Terra); M = 5,98 ∙ 10 24 k g (massa da Terra).

  1. Qual é a velocidade do objeto quando atinge o solo?
  2. Qual seria sua velocidade se a Terra fosse considerada plana?
  3. Qual é o erro percentual cometido supondo a Terra plana?

Passo 1

Já que o que se pede é velocidade, que tal trabalharmos com conservação de energia? A energia da bolinha antes é igual a soma das energias cinética e gravitacional no momento da chegada ao solo.

- G M m R + h = m V 2 2 - G M m R

V 2 = 2 G M h / R ( R + h )

Passo 2

Substituindo valores,

V 2 = 2 ∙ 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 5,98 ∙ 10 24 ∙ 5 ∙ 10 5 6,37 ∙ 10 6 6,37 ∙ 10 6 + 5 ∙ 10 5

V = 3,02 ∙ 10 3 m / s

V = 3,02   k m / s

Passo 3

Quando consideramos a Terra plana, a energia do corpo a uma altura h passa a ser a energia potencial e não mais a energia gravitacional.

Para achar a velocidade no momento em que o objeto atinge o solo, continuaremos a usar a conservação de energia, com um diferencial:

m g h = m V 2 2

9,8 ∙ 5 ∙ 10 5 ∙ 2 = V 2

V = 3,13   k m / s

Passo 4

Por fim, vamos calcular o erro percentual da velocidade. O que isso quer dizer? Quanto, em relação a velocidade do item a (a mais perto da realidade, visto que a Terra não é plana), foi a variação da velocidade do item b. Confuso, né? Matematicamente:

V b - V a V a = x

Queremos achar o valor de x , assumindo V a como a velocidade no item a e V b como a velocidade no item b.

Passo 5

Então, vamos substituir os valores:

3,13 - 3,02 3,02 = 0,036

x = 3,6 %

Resposta

  1. V = 3,02 k m / s
  2. V = 3,13 k m / s
  3. 3,6%

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