Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

UNICAMP-P1-2012-3

Uma partícula (partícula A , de massa M ) pode ser deslocada ao longo de um eixo y desde uma distância infinita até a origem. A origem está localizada no ponto médio entre as partículas B e C , que têm massas iguais m , e o eixo y é perpendicular à linha que liga essas duas partículas. A distância D é 3,0   m . O gráfico mostra a energia potencial U do sistema de três partículas em função da posição da partícula A no eixo y , sendo que para a direita a curva tende assintoticamente ao valor de - 4,4   .   10 - 11   J quando y → ∞ . Quais são os valores de m e M ?

G = 6,7   .   10 - 11   N   m 2 / k g 2 .

Passo 1

Sabemos que a energia potencial gravitacional, no sistema mostrado, é dada por:

U = - G M m r 1 - G M m r 2 - G m m 2 D

Mas, vendo a imagem, descobrimos que:

r 1 = r 2 = r

E, colocando em função de y e D :

r = y 2 + D 2

Portanto, a expressão da energia é dada por:

U = - 2 G M m y 2 + D 2 - G m 2 2 D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, com a expressão da energia do sistema, fica fácil!

Pelo gráfico, sabemos que, quando y = 0 , a energia é - 4,84   .   10 - 10   N , então:

- 4,84   .   10 - 10 = - 2   .   6,67   .   10 - 11   .   M   .   m D - 6,67   .   10 - 11   .   m 2 2 D

Já para y → ∞ , temos que a energia é - 4,4   .   10 - 11   N , então:

- 4,4   .   10 - 11 = - 6,67   .   10 - 11   . m 2 2 D

Sabendo que D = 3   m , podemos usar a segunda equação para encontrar o valor de m :

m = 2   .   3   .   4,4 6,67 ≅ 2   k g

Usando esse valor na primeira expressão:

48,4 = 2   .   6,67   .   M   .   2 3 + 6,67   .   2 2 2   .   3

M ≅ 5   k g

Resposta

m = 2   k g

M = 5   k g

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