Enunciado

Um satélite artificial encontra-se em uma órbita circular de raio R 1 em torno da Terra quando ativa seus motores e passa a uma órbita, também circular, de raio R 2 ( R 2 > R 1 ). É correto afirmar que:

(a) A energia potencial associada à força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite aumenta na mudança de órbita.

(b) O trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite é nulo na mudança de órbita.

(c) A energia cinética do satélite permanece inalterada na mudança de órbita.

(d) A energia mecânica do satélite permanece constante na mudança de órbita.

(e) A força gravitacinal que a Terra exerce sobre o satélite realiza trabalho positivo na mudança de órbita.

Passo 1

O enunciado diz que o satélite foi de uma órbita R 1 para uma órbita com raio maior R 2 :

Vamos fazer algumas considerações sobre os conceitos envolvidos nas opções.

Passo 2

(a) A energia potencial associada à força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite aumenta na mudança de órbita.

A energia potencial gravitacional é dada por:

U g = - G M m r

Onde r é a distância entre os corpos.

Como o raio da órbita aumentou de R 1 para R 2 , por esse valor estar no denominador, a energia U g ficará menor em módulo.

Entretanto, estamos tratando de valores negativos, então, diminuir em módulo na verdade é deixar o número cada vez mais próximo do zero, ou seja, aumentando essa energia potencial.

Quanto maior a distância, maior a energia potencial associada.

Assim, a afirmativa (a) está correta.

Passo 3

(b) O trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite é nulo na mudança de órbita.

(e) A força gravitacinal que a Terra exerce sobre o satélite realiza trabalho positivo na mudança de órbita.

A força gravitacional sobre o satélite está sempre na direção radial à órbita:

Uma força só gera trabalho se existir um deslocamento ou componente dele na sua direção.

Então, como houve um deslocamento radial na mudança de órbitas, houve um trabalho não nulo.

E esse trabalho foi positivo ou negativo?

Como o deslocamento radial foi no sentido contrário da força (aumentando o raio da órbita), então o trabalho foi negativo.

Ambas afirmativas são falsas.

Passo 4

(c) A energia cinética do satélite permanece inalterada na mudança de órbita.

Como o satélite está realizando uma órbita circular, sua velocidade orbital é dada por:

v = G M R

Ou seja, como houve uma mudança no raio R da órbita, houve uma mudança na velocidade orbital também.

Passo 5

(d) A energia mecânica do satélite permanece constante na mudança de órbita.

Quando está numa órbita de raio R a energia mecânica do satélite será

E = U + K = - M m G R + 1 2 m v 2

Podemos relacionar a velocidade com o raio da trajetória igualando a força gravitacional com a força centrípeta

F G = F C → G M m R 2 = m v 2 R → v 2 = G M R

Assim

E = - M m G R + 1 2 m G M R = - G M m 2 R  

Ou seja, ao aumentarmos o raio da trajetória a energia mecânica não é conservada! Então essa opção está errada.

E de onde vem a energia pra fazer essa mudança? Ela vem dos motores do nosso satélite ;)

Resposta

Letra (a)

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