Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Um sistema binário de estrelas consiste em duas estrelas idênticas, cada uma com massa M , girando em torno do centro de massa do sistema. As estrelas estão em pontos opostos de uma mesma órbita circular de raio R . Determine:

a) a intensidade da força gravitacional de uma estrela sobre a outra;

b) o módulo da velocidade orbital de cada estrela e o período da órbita;

c) a energia necessária para separar as duas estrelas até uma distância infinita.

Passo 1

O enunciado diz que as duas estrelas de massa M estão em pontos opostos na mesma órbita:

Passo 2

Na letra (a), queremos a força gravitacional entre eles.

A força gravitacional é dada por:

F g = G M m R 2

Onde M e m são as massas dos dois corpos, enquanto R é a distância entre eles.

As massas dos dois corpos são M e a distância entre eles é igual a duas vezes o raio da órbita 2 R :

F g = G M M 2 R 2

F g = G M 2 4 R 2

Passo 3

Na letra (b), queremos o módulo da velocidade orbital v   de cada estrela e o período da órbita T .

Como as estrelas realizam um movimento circular, podemos igualar a força gravitacional F g à expressão da força centrípeta F c t p :

F g = F c t p

A força centrípeta é dada por:

F c t p = m v 2 r

O raio da trajetória circular é R , enquanto a massa é M :

G M 2 4 R 2 = M v 2 R

OBS: Estamos analisando apenas um dos corpos.

Assim, encontramos um valor para a velocidade orbital v :

v 2 = G M 4 R

v = G M 4 R

Podemos ainda colocar a constante para fora da raiz:

v = 1 4 G M R

v = 1 2 G M R

Passo 4

Ainda na (b), queremos o período T .

Como já temos a velocidade orbital, podemos aplicar na expressão de velocidade média:

v m = ∆ S ∆ t

A jogada aqui é pensar em uma volta completa...

Quando a estrela completa uma volta, ela vai ter percorrido uma distância igual ao comprimento da circunferência da órbita:

∆ S = 2 π R

Enquanto o tempo ∆ t que demorou essa volta é a própria definição de período:

∆ t = T

Então, juntando isso tudo na fórmula de velocidade média, temos:

v m = ∆ S ∆ t

1 2 G M R = 2 π R T

Isolando o período T , temos:

T = 2 π R 2 R G M

T = 4 π R R G M

Para não ficar um R dentro da raiz e outro fora dela, vamos passar o R de fora para dentro da raiz. Então, ele entra na raiz elevado ao quadrado:

T = 4 π R 2 R G M

T = 4 π R 3 G M

Passo 5

Na letra (c), queremos a energia necessária para separar as duas estrelas até o infinito.

Bom, enquanto essas estrelas realizam essa órbita, elas têm uma energia mecânica dada pela potencial gravitacional e cinética:

E M = U g + K 1 + K 2

E essa energia mecânica tem um valor negativo, que vamos ver nas contas.

A energia necessária para separar elas até o infinito será o quanto de energia temos que acrescentar no sistema para que elas cheguem no infinito com energia zero.

Ou seja, energia cinética nula:

K = 0

E energia potencial também nula, uma vez que a distância r tende ao infinito:

U g = - G M m r = 0

Passo 6

Então, vamos calcular essa energia mecânica:

E M = U g + K 1 + K 2

E M = - G M M 2 R + M v 2 2 + M v 2 2

E M = - G M 2 2 R + M v 2

Mas essa velocidade orbital, nós já calculamos no item (b):

v = 1 2 G M R

Então, temos:

E M = - G M 2 2 R + M 1 2 G M R 2

E M = - G M 2 2 R + M 1 4 G M R

E M = - G M 2 2 R + G M 2 4 R

E M = G M 2 R - 1 2 + 1 4

E M = - G M 2 4 R

Então, acresentando um valor de energia igual à essa energia mecânica E M , conseguimos separar as estrelas até uma distância infinita.

Resposta

(a)

F g = G M 2 4 R 2

(b) v = 1 2 G M R

T = 4 π R 3 G M

(c)

- G M 2 4 R

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