Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Na superfície da Terra, você consegue dar um pulo de 50   c m de altura. Qual altura você alcançaria na superfície do asteróide Juno, que tem massa e raio médio estimados em 3,0 × 10 19   k g e 120   k m , respectivamente?

Dados:

Raio da Terra: R T = 6,38 × 10 6   m

Massa da Terra: M T = 5,98 × 10 24   k g

Passo 1

Se conseguimos pular 0,5   m na Terra, quanto conseguimos pular no asteróide Juno?

Para encontrar isso, vamos pensar na situação do pulo...

Se pularmos com a mesmo intensidade nas duas superfícies, nossa velocidade de saída do solo será a mesma.

Então, vamos relacionar os dois pulos a partir da mesma v 0 .

Passo 2

Do momento em que pulamos até o momento de parar no ar, estamos realizando um movimento uniformemente variado (MUV), onde a única aceleração é a da gravidade g .

Então, podemos utilizar a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

Lembrando que a aceleração da gravidade está contra o movimento:

v 2 = v 0 2 - 2 g ∆ S

Pulamos com uma velocidade inicial v 0 e vamos atingir a altura máxima h no momento em que nossa valocidade final v atinge zero:

0 = v 0 2 - 2 g h

v 0 2 = 2 g h

Passo 3

Lembra que conseguimos sair com a mesma velocidade v 0 nas duas superfícies?

Então, podemos igualar:

v 0 2 = v 0 2

2 g T h T = 2 g J h J

g T h T = g J h J

Então, temos que a altura que conseguimos pular em Juno h J é:

h J = g T g J h T

Passo 4

Agora, vamos achar uma expressão para a aceleração da gravidade g .

Pela segunda lei de Newton, temos que a força gravitacional é:

F g = m a

Chamando a aceleração de g , temos:

F g = m g

G M m R 2 = m g

g = G M R 2

Passo 5

Substituindo a expressão de g na equação das alturas, temos:

h J = G M T R T 2 G M J R J 2 h T

Cortando G :

h J = M T M J R J 2 R T 2 h T

h J = M T M J R J R T 2 h T

Passo 6

Substituindo os valores das massas, temos:

h J = 5,98 × 10 24 3,0 × 10 19 R J R T 2 h T

Vamos passar o raio de Juno para a unidade em metros:

R J = 120   k m = 120 × 10 3   m

R J = 1,2 × 10 5   m

Substituindo os raios e a altura h T , temos:

h J = 5,98 × 10 24 3,0 × 10 19 1,2 × 10 5 6,38 × 10 6 2 h T

Mãos a obra pra calcular essas continhas...

h J = 70,5 h T

h J = 70,5 0,5

h J ≈ 35   m

Resposta

h J = 35   m

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