Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Passo 1

Essa equação já está no formato característico de uma equação de Clairaut.

y = x y ' + f y ' ,     f y ' = y ' - 2

Vamos derivar a equação em função de x .

y ' = y ' + x y ' ' - 2 y ' - 3 y ' '

y ' ' x - 2 y ' - 3 = 0

Disso teremos duas possibilidades

y ' ' = 0 x - 2 y ' - 3 = 0

Passo 2

Resolvendo a primeira equação teremos.

y ' ' = 0 → y ' = C

Usando isso na equação de Clairaut inicial teremos.

y = x C + 1 C 2

Vamos usar o valor inicial para encontrar o valor das constantes.

3 = - 2 C + 1 C 2

C = 1 2   o u   C = - 1

Logo temos duas soluções de cara

y = 1 - x

y = x 2 + 4

Basta agora calcular a solução singular da equação de Clairaut

Passo 3

Analisando a equação x - 2 y ' - 3 = 0 . Temos que ao chamar y ' x = t .

x = 2 t - 3

Enquanto pela equação de Clairaut também temos

y = 2 t - 2 + t - 2 = 3 t - 2

Manipulando as duas equações temos

x 2 = 4 t - 6

y 3 = 27 t - 6

Logo nossa outra solução será

4 y 3 = 27 x 2

Passo 4

Agora ele pede para analisarmos o Teorema da Existência e Unicidade e para dizermos se essas respostas que encontramos contradizem esse teorema. Para que o resultado contradiga o teorema temos que as hipóteses do nosso teorema devem ser verdadeiras e a tese seja falsa. Com isso nós queremos dizer que devíamos ter f e ∂ f / ∂ y em uma região contando o ponto dado no valor inicial, onde y ' = f .

Nesse caso é muito difícil de isolar o y ' na EDO, mas podemos afirmar que uma das hipóteses será inválida, uma vez que encontramos mais de uma solução.

Resposta

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