Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Determine as soluções geral e singular da EDO:

t = y y ' + 1 y ' 2

Passo 1

Essa EDO é uma de primeira ordem (pois só aparece a derivada de primeira ordem) e, além disso, se dermos uma organizada geral nela, ficamos com uma equação chamada de equação de Clairaut. Olha só:

y = t y ' - 1 y '

Lembrando que a equação de Clairaut é da forma:

y = t y ' + f y '

Passo 2

Ora, já sabemos qual o tipo da nossa EDO. Vamos resolvê-la então.

Primeiro, devemos derivar toda a EDO com respeito a t .

y ' = t y ' ' + y ' + y ' ' y ' 2

0 = y ' ' t + 1 y ' ²

y ' ' = 0   o u   t + 1 y ' 2 = 0

y ' ' = 0 ⇒   y ' = C

Substituindo y ' na equação de Clairaut, obtemos a solução geral:

y = t C - 1 C

Com C ≠ 0 .

Olhando agora para

t + 1 y ' 2 = 0 ⇒   t = - 1 y ' 2

Substituindo na equação de Clairaut

y = - 1 y ' - 1 y ' = - 2 y '

Manipulando, obtemos a solução singular:

y 2 = 4 y ' 2 ⇒   y 2 = - 4 t

Resposta

Solução geral

y = t C - 1 C

Com C ≠ 0 .

Solução singular

y 2 = - 4 t

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