Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Resolva a equação de Clairaut

y = x y ' + ln ⁡ y '

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' = x y ' ' + y ' + 1 y ' y ' '

Reorganizando...

y ' ' x + 1 y ' = 0

Daí ficamos com o sistema y ' ' = 0 x + 1 y ' = 0 porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

y = x C + ln ⁡ C

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x + 1 y ' = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = - 1 t

E substituindo na equação

y = - 1 t t + ln ⁡ t = - 1 + ln ⁡ t

Resposta

Família de retas

y = x C + ln ⁡ C

Solução singular

x = - 1 t y = - 1 + ln ⁡ t

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