Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Resolva

- x y ' + y = y ' + 1 2 ,     y 0 = 0

Passo 1

Essa equação ta parecendo muito uma equação de Clairaut. Vamos mexer um pouco pra ela ficar com aquela cara característica.

y = x y ' + y ' + 1 2

Agora é so partir pra resolução como a gente já sabe

Passo 2

Derivando a equação em relação a x .

y ' = y ' + x y ' ' + 2 y ' + 1 y ' '

y ' ' x + 2 y ' + 1 = 0

Disso temos.

y ' ' = 0

o u

x + 2 y ' + 1 = 0  

Passo 3

Resolvendo para y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo na equação.

y = x C + C + 1 2

Passo 4

Utilizando a nossa informação inicial y 0 = 0 .

y 0 = 0 + C + 1 2 = 0

C = - 1

y = - x

Passo 5

Resolvendo para x + 2 y ' + 1 = 0 . Tomando y ' = t , onde t é um parâmetro.

x + 2 t + 1 = 0

x = - 2 ( t + 1 )

Substituindo x e y ' na equação.

y = - 2 t + 1 t + t + 1 2

y = 1 - t 2

Passo 6

Vamos testar agora se essa solução singular que nos encontramos atende a condição inicial y 0 = 0 .

x = 0 = - 2 t + 1

t = - 1

Para t = - 1

y = 1 - - 1 2 = 0

Logo a solução singular atende a condição inicial.

Resposta

Reta

y = - x

Solução singular

x = - 2 t + 1 y = 1 - t 2  

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