Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Nos exercícios 27 e 28 verifique que as equações são do tipo Clairaut e encontre uma família de soluções e as soluções singulares na forma paramétrica. [lembrando, tipo Clairaut: y = x y ' + F ( y ' ) ]

27 .   y = x y ' + l n ⁡ ( y ' )

Passo 1

Bom, então a primeira coisa é verificar se nossa EDO é de Clairaut ou não. Olha ela aqui:

y = x y ' + ln ⁡ y '

Olha que linda, já esta no formato certinho! Então beleza.

Passo 2

Agora o que a gente faz é derivar em ambos os lados com respeito a x :

y ' = y ' + x y ' ' + y ' ' y '

y ' ' y ' + x y ' ' = 0

y ' ' x + 1 y ' = 0

Isso nos diz que:

y ' ' = 0     o u     x + 1 y ' = 0

Passo 3

Vamos então estudar os dois casos. Se:

y ' ' = 0 → y ' = C

Substituindo isso na EDO:

y = C x + ln ⁡ C

Agora se:

x + 1 y ' = 0 → x = - 1 y '

Adotando y ' = t e substituindo x na EDO:

x = - 1 t y = - 1 + ln ⁡ t

Resposta

27 . Família de soluções: y = C x + l n C . Solução singular: x = - 1 t y = - 1 + ln ⁡ t  

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