Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Nos exercícios 27 e 28 verifique que as equações são do tipo Clairaut e encontre uma família de soluções e as soluções singulares na forma paramétrica. [lembrando, tipo Clairaut: y = x y ' + F ( y ' ) ]

Nos exercícios 27 e 28 verifique que as equações são do tipo Clairaut e encontre uma família de soluções e as soluções singulares na forma paramétrica. [lembrando, tipo Clairaut: y = x y ' + F ( y ' ) ]

2 8 .   y = x + 4 y ' + y ' 2

Passo 1

Bom, então a primeira coisa é verificar se nossa EDO é de Clairaut ou não. Olha ela aqui:

y = x + 4 y ' + y ' 2

Olha que linda, já esta no formato certinho! Então beleza.

Passo 2

Agora o que a gente faz é derivar em ambos os lados com respeito a x :

y ' = y ' + x + 4 y ' ' + 2 y ' y ' '

x + 4 y ' ' + 2 y ' y ' ' = 0

y ' ' x + 4 + 2 y ' = 0

Isso nos diz que:

y ' ' = 0     o u   x + 4 + 2 y ' = 0

Passo 3

Vamos então estudar os dois casos. Se:

y ' ' = 0 → y ' = C

Substituindo isso na EDO:

y = x + 4 C + C 2

y = C x + 4 C + C 2

Agora se:

x + 4 + 2 y ' = 0 → x = - 2 y ' - 4

Adotando y ' = t e substituindo x na EDO:

x = - 2 t - 4 y = - t 2

Resposta

2 8 . Família de soluções: y = C x + 4 C + C 2 . Solução singular: x = - 4 - 2 t y = - t 2  

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