Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

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Enunciado

Resolva a equação de Clairaut

y = x y ' + y ' 3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' = x y ' ' + y ' + 3 y ' 2 y ' '

Reorganizando...

y ' ' x + 3 y ' 2 = 0

Daí ficamos com o sistema y ' ' = 0 x + 3 y ' 2 = 0 porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

y = x C + C 3

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x + 3 y ' 2 = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = - 3 t 2

E substituindo na equação

y = - 3 t 2 × t + t 3 = - 2 t 3

Resposta

Família de retas

y = x C + C 3

Solução singular

x = - 3 t 2 y = - 2 t 3

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