Exercícios Resolvidos de Equação de Clairaut

Exercício nº 27 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação de Clairaut, obtenha uma solução singular

x y ' - y = e y '

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' + x y ' ' - y ' = e y ' y ' '

Reorganizando...

y ' ' x - e y ' = 0

Daí ficamos com o sistema

y ' ' = 0 x - e y ' = 0

porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

x C - y = e C

y = x C - e C

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x - e y ' = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = e t

E substituindo na equação

e t t - y = e t

y = t e t - e t

Resposta

Família de retas

y = x C - e C

Solução singular

x = e t y = t e t - e t

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