Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

Ache a equação cartesiana de um plano T ,   paralelo a S de equação cartesiana z = 2 x + 3 y , que seja tangente ao gráfico da função f x , y = x 2 + x y . Dê o ponto P onde o plano T tangencia o gráfico de f , uma equação cartesiana para o plano T e equações paramétricas para a reta normal N ao gráfico de f no ponto P

Passo 1

T ao gráfico de f será paralelo ao plano S quando os vetores normais de ambos forem colineares

Isto é, quando o gradiente de uma superfície for múltiplo escalar do gradiente da outra superfície

Tranquilo?

Partiu começar? Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos primeiramente encontrar os gradientes das duas superfícies

z = 2 x + 3 y → F = 2 x + 3 y - z = 0

∇ → F = ( 2,3 , - 1 )

Beleza? Agora a outra

z = f x , y = x 2 + x y → G = x 2 + x y - z

∇ → G = ( 2 x + y ,   x ,   - 1 )

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora esses vetores precisam ser múltiplos escalares um do outro

∇ → G = λ ∇ → F

2 x + y ,   x ,   - 1 = λ ( 2,3 , - 1 )

Da igualdade de vetores temos

2 x + y = 2 λ x = 3 λ - 1 = - 1 λ

Da terceira equação temos que λ = 1 , então substituindo na segunda temos que x = 3 e usando esses dois valores encontramos y da primeira

2.3 + y = 2.1 → y = - 4

Achamos as coordenadas x e y de um ponto, certo? Vamos chamar de P !

Achamos o ponto no qual o plano T é paralelo ao plano S e é tangente ao gráfico de f , tudo isso ao mesmo tempo!

Assim para saber todas as coordenadas de P

P = 3 , - 4 , f 3 , - 4

A função f

f x , y = x 2 + x y → f 3 , - 4 = 3 2 + 3 . - 4

f 3 , - 4 = - 3

Assim nosso ponto P é ( 3 , - 4 , - 3 )

Passo 4

Agora com o ponto podemos encontrar tanto o plano T quanto a reta normal! Substituindo o ponto na equação do plano

f x 3 , - 4 . x - 3 + f y 3 , - 4 . y + 4 - 1 z + 3 = 0

As parciais nós encontramos no passo 3 ,

f x = 2 x + y → f x 3 , - 4 = 2

f y = x → f y 3 , - 4 = 3

Agora é só substituir!

2 x - 3 + 3 y + 4 - 1 z + 3 = 0

Aí temos

2 x + 3 y - z = - 3

Belezinha?

Ainda precisamos encontrar as equações paramétricas das retas! Precisamos de um vetor e um ponto!

O vetor diretor são os coeficientes da equação do plano f x , f y , - 1 = ( 2,3 , - 1 ) e o ponto? É o ponto P ( 3 , - 4 , - 3 )

N : x = 3 + 2 t y = - 4 + 3 t z = - 3 - t

Beleza? Até a próxima!

Resposta

N : x = 3 + 2 t y = - 4 + 3 t z = - 3 - t

2 x + 3 y - z = - 3

P ( 3 , - 4 , - 3 )

Exercícios de Livros Relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 16 x 2 = y 2 + 4 z 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0