Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

Ver Teoria

Enunciado

Considere os vetores

a = 2 i + 3 j + k b = i - j c = 7 i + 3 j + 2 k

  1. Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores a e b
  2. Determine o ângulo formado entre os vetores a e b
  3. Verifique se os vetores a , b e c são coplanares, ou seja, pertencem ao mesmo plano

Passo 1

Fala galera, tudo certinho? Olha, pra início de conversa, vamos dar uma boa olhada nesses três vetores.

Agora, a primeira coisa que a questão pede é a área do paralelogramo definido por a e b . Oras galera, isso nada mais é do que o módulo do produto vetorial deles. Sendo assim, temos:

a × b = i j k 2 3 1 1 - 1 0

Calculando a determinante, temos:

a × b = 3 ∙ 0 ∙ i + 1 ∙ 1 ∙ j + 2 ∙ - 1 ∙ k - 1 ∙ - 1 ∙ i + 2 ∙ 0 ∙ j + 1 ∙ 3 ∙ k

a × b = 0 i + j - 2 k - - i + 0 j + 3 k

a × b = 0 i + j - 2 k + i - 0 j - 3 k

a × b = i + j - 5 k

E calculando o módulo desse vetor, achamos:

a × b = 1 2 + 1 2 + - 5 2 = 1 + 1 + 25

a × b = 27

Passo 2

Show galera, vamos pra próxima letra. A próxima letra pede pra gente o ângulo formado entre a e b . Oras, pra isso, basta a gente lembrar que, pela regra do produto vetorial, podemos tirar ainda que:

cos ⁡ θ = a ∙ b a ∙ b

Bem, uma coisa de cada vez. A começar por esse numerador. Esse produto será:

a ∙ b = 2,3 , 1 ∙ 1 , - 1,0

Aplicando a distributiva, temos:

a ∙ b = 2 ∙ 1 + 3 ∙ - 1 + 1 ∙ 0

a ∙ b = 2 - 3 + 0

a ∙ b = - 1

Agora pros módulos dos vetores, temos que:

a = 2 2 + 3 2 + 1 2 = 4 + 9 + 1 = 14

b = 1 2 + - 1 2 + 0 2 = 1 + 1 + 0 = 2

De forma que o produto fica:

a ∙ b = 14 ∙ 2 = 28

Feshow galera! Juntando denominador e numerador, achamos:

cos ⁡ θ = - 1 28 = - 1 2 7

Pra achar o ângulo basta usar a trigonométrica inversa correspondente!

θ = arc cos ⁡ - 1 2 7

Passo 3

Galera, ultima letra. Ó só, detalhe importante: se eu pegar dois vetores só, eles vão sempre ser coplanares. Então já sabemos que a , b são, mas será que o c está contido no plano que a , b formam? Pra isso, vamos olhar esse resultado da letra a :

a × b = i + j - 5 k

Povo, o produto vetorial sempre dá um vetor, e esse vetor resultante é perpendicular ao plano definido por a , b . Pô, então se c for coplanar, ele terá que ser também perpendicular ao vetor a × b ! Como vetores perpendiculares tem produto escalar nulo, basta calcularmos:

c ∙ a × b = 7,3 , 2 ∙ 1,1 , - 5

E vamos achar:

c ∙ a × b = 7 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 2 ∙ - 5

c ∙ a × b = 7 + 3 - 10

c ∙ a × b = 10 - 10

c ∙ a × b = 0

No final das contas não é que a , b , c são coplanares mesmo!

Resposta

  1. a × b = 27
  2. θ = arc cos ⁡ - 1 2 7
  3. a , b , c são coplanares

Exercícios de Livros Relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 16 x 2 = y 2 + 4 z 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0