Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

Encontre uma equação geral, uma vetorial e uma paramétrica do plano que contém as retas r e s cujas equações na forma simétrica são dadas por r : x - 1 2 = y 2 = z e s: x - 1 = y = z .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que contém as retas r e s em três formas: uma equação geral, uma vetorial e uma paramétrica. Primeiro, vamos escrever as equações das duas retas na forma vetorial para determinar seus vetores diretores. Dada as equações de r e s, temos as seguintes relações para as coordenadas dos pontos contidos nelas:

r :   ( x , y , z ) = ( 2 z + 1 ,   2 z ,   z   )

s :   ( x , y , z ) = ( x ,   x - 1 ,   x - 1 )

Então, podemos escrever as equações dessas retas na forma vetorial como:

r :   ( 1,0 , 0 )   +   z ( 2,2 , 1 )

s :   ( 0 , - 1 , - 1 ) + x ( 1,1 , 1 )

Da equação acima, vemos que as retas se interceptam no ponto com coordenadas (1,0,0), se fizermos z = 0 e x = 1. Além disso, temos que os vetores diretores das retas r e s são, respectivamente, (2,2,1) e (1,1,1).

Então, para garantir que essas duas retas estão contidas no plano que queremos determinar, podemos utilizar seus dois vetores diretores para gerar o plano! Então bora lá!

Passo 2

Como um plano pode ser gerado por dois vetores linearmente independentes e como os vetores (2,2,1) e (1,1,1) são linearmente independentes, podemos escrever a equação vetorial do plano que contém as retas como:

P :   ( 1,0 , 0 ) + λ ( 2,2 , 1 ) + μ ( 1,1 , 1 )

Na forma paramétrica, podemos escrever todas as coordenadas (x,y,z) em função dos parâmetros λ   e   μ acima, como

x   =   1 + 2 λ + μ

y = 2 λ + μ

z =   λ + μ

Das equações paramétricas acima, vemos que existe a seguinte relação entre as coordenadas dos pontos do plano:

x = y + 1

Ou, alternativamente, podemos escrever essa equação na forma geral como

( x - 1 ) - 1 ( y - 0 ) = 0

Encontramos então a equação do plano que contém as duas retas nas três formas pedidas!

Resposta

P :   ( x - 1 ) - 1 ( y - 0 ) = 0

P :   ( 1,0 , 0 ) + λ ( 2,2 , 1 ) + μ ( 1,1 , 1 )

x   =   1 + 2 λ + μ

P   : y = 2 λ + μ

z =   λ + μ

Exercícios de Livros Relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 16 x 2 = y 2 + 4 z 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0