Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

b. α t = sin ⁡ t , 1 , cos ⁡ t ,     t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = sin ⁡ t , 1 , cos ⁡ t ,     t ∈ [ 0,2 π ]

Está contida na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = sin ⁡ t y t = 1 z t = cos ⁡ t

Substituindo na superfície S ...

x 2 + y 2 - z 2 = 0 → x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

sin 2 ⁡ t + 1 2 - cos 2 ⁡ t = 0

sin 2 ⁡ t + 1 = cos 2 ⁡ t

Essa igualdade não é verídica pelas identidades trigonométricas, portando α t não está contida em S

Esboçando a superfície S e a curva α t , temos

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Não está contida.

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Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
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Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0