Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

d. α t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 1 ,     t ∈ 0,2 π

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 1 ,     t ∈ 0,2 π

Está contida na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = cos ⁡ t y t = sin ⁡ t z t = 1

Substituindo na superfície S ...

x 2 + y 2 - z 2 = 0 → x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t 2 - 1 2 = 0

cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t - 1 = 0

Sabemos que cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , então aplicando essa igualdade na equação, chegamos em

1 - 1 = 0

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, portanto α t é solução de S , logo, a curva está contida na superfície.

Plotando S e α t , temos

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Está contida.

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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
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Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0