Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S : 1 - x 2 - y 2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

e. α t = sin ⁡ t , cos ⁡ t , 0 ,     t ∈ 0,2 π

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = sin ⁡ t , cos ⁡ t , 0 ,     t ∈ 0,2 π

Está contida na superfície S : 1 - x 2 - y 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

1 - x 2 - y 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

1 - x t 2 - y t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = sin ⁡ t y t = cos ⁡ t z t = 0

Substituindo na superfície S ...

1 - x 2 - y 2 = 0 → 1 - x t 2 - y t 2 = 0

1 - sin ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 = 0

Simplificando a equação...

1 - sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 0

Por relações trigonométricas, sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , ou seja

1 - 1 = 0

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, logo α t é solução de S , ou seja, a curva está contida na superfície.

Se plotarmos S e α t , podemos afirmar nossos cálculos...

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Está contida.

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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
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Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0