Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 208 - 70

Encontre a equação de um plano N que passa pela origem e encontra o plano M : 2 x + 3 y + z = 12 em um ângulo reto.

Passo 1

O problema de cara já fornece um ponto pertencente ao plano N cuja equação queremos encontrar: P 0 = ( 0,0 , 0 )

Falta encontra o vetor normal ao plano N

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Passo 2

Vamos achar esse vetor normal à N : n → = ( a , b , c )

O problema afirma que o plano N é ortogonal ao plano M , isso faz com que o vetor normal n → também seja ortogonal a m → (vetor normal ao plano M ).

Agora como achar m → ? Po, a equação do plano não é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Então concorda comigo que os coeficientes que multiplicam x , y , z são as componentes do vetor normal? Portanto, olhando a equação do plano M a gente conclui que o vetor normal m → é:

m → = ( 2,3 , 1 )

Passo 3

Como n → e m → são ortogonais, então:

n → ⋅ m → = 0

a , b , c ⋅ 2,3 , 1 = 0

2 a + 3 b + c = 0

Portanto n → é qualquer vetor cujas coordenadas satisfazem a equação acima. Um vetor possível é

n → = 1 , - 1,1

Passo 4

Então a equação do plano N fica:

n → = a , b . c = ( 1 , - 1,1 )

P 0 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 0 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 0 - 1 y - 0 + 1 z - 0 = 0

x - y + z = 0

Resposta

A equação do plano é:

x - y + z = 0

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