Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

Qual dos seguintes planos é perpendicular, simultaneamente, aos planos

x - y + 2 z = 1

E

2 x + y - z = 2

E contém o ponto ( 1 , 0 , - 1 ) ?

  1. x - 3 y - 2 z = - 1
  2. 2 x - y + 3 z = - 1
  3. x - 5 y - 3 z = 4
  4. - x + 5 y + 3 z = 1
  5. - x + 3 y + 2 z = 2

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é verificar qual desses planos das opções de fato contém o ponto ( 1 , 0 , - 1 ) . Porque aí a gente já elimina os que não tiverem...

Pra isso, é só substituir o ponto na equação do plano:

x - 3 y - 2 z = - 1 → 1 - 3 . 0 - 2 - 1 = 3 ≠ - 1

Logo, já eliminamos esse primeiro plano aí..

2 x - y + 3 z = - 1 →   2.1 - 0 + 3 . - 1 = - 1     o k

x - 5 y - 3 z = 4 → 1 - 5.0 - 3 . - 1 = 4   o k

- x + 5 y + 3 z = 1 → - 1 + 5.0 + 3 . - 1 = - 4 ≠ - 1

- x + 3 y + 2 z = 2 → - 1 + 3.0 + 2 . - 1 = - 3 ≠ 2

Assim, ficamos só com os planos da letra b e da letra c .

Passo 2

Agora vamos entender essa questão de que o plano tem que ser perpendicular a esses dois planos do enunciado. Isso significa que o vetor normal do plano tem que ser simultaneamente perperdicular aos vetores normais desses dois planos.

A equação geral de uma plano qualquer pode ser lida como:

a x + b y + c z = d

Comparando isso com as equações dos planos do enunciado, temos que seus vetores normais são:

n 1 = ( 1 , - 1,2 )

n 2 = ( 2,1 , - 1 )

Ou qualquer múltiplo disso (porque vetores múltiplos estão sempre na mesma direção, só possuem normas diferentes).

Agora, para encontrar um vetor que seja perpendicular a esses dois, é só a gente fazer o produto vetorial deles:

v → = n 1 → × n 2 →

v → = i j k 1 - 1 2 2 1 - 1 = 1   i + 4   j + 1   k + 2   k - 2   i + 1   j = ( - 1,5 , 3 )

Passo 3

Huuumm, mas olhando as opções nem o plano da letra b , nem o plano da letra c , que foram os que sobraram, tem esse vetor normal...

Aí eu te pergunto: você tem certeza que não tem???

Já reparou que o vetor normal do plano da letra c é ( 1 , - 5 , - 3 ) ? E isso não é exatamente o vetor v que a gente achou, multiplicado por - 1 ?

Isso quer dizer então, que o vetor normal do plano da letra c é múltiplo do vetor que achamos, então, o plano da letra c é um plano que é perpendicular aos dois planos dados e, como já tínhamos visto antes, é um plano que contém o ponto ( 1 , 0 , - 1 ) .

Resposta

L e t r a   c

Exercícios de Livros Relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 16 x 2 = y 2 + 4 z 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0