Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Enunciado

Dados os planos π 1   :   x   −   y   +   z   +   1   =   0 , π 2   :   x   +   y   −   z   −   1   =   0 e π 3   :   x   +   y   +   2   z   −   2   =   0 , encontre uma equação geral do plano que contém π 1 ∩ π 2 e é perpendicular ao plano π 3 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente encontrar uma equação para um plano P que contenha a interseção entre os dois planos π 1 e   π 2 e que seja perpendicular ao plano π 3 . Primeiro, vamos obter a equação da reta que é interseção dos dois primeiros planos. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações dadas pelas equações dos dois planos:

x - y + z + 1 = 0

x + y - z - 1 = 0

Isolando x na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:

y - z - 1 + y - z - 1 = 2 y - 2 z - 2 = 0

Então, temos que a interseção entre os dois primeiros planos é dada pela reta

z = y - 1

Então, queremos que o plano contenha a reta acima. Além disso, queremos que ele seja perpendicular ao plano π 3   :   x   +   y   +   2   z   −   2   =   0 . Como o plano π 3 é paralelo ao plano com equação

  x   +   y   +   2   z =   0 ,

Apenas deslocado por um fator -2, temos que o vetor perpendicular ao plano acima também é perpendicular ao plano π 3 . Então, temos que o vetor ortogonal à π 3 possui coordenadas (a,b,c):

( a , b , c ) = ( 1,1 , 2 )

Então, com posse desse vetor e sabendo a equação da reta contida no plano que procuramos, podemos montar a equação do nosso plano. Então vamos lá!

Passo 2

Para gerar um plano precisamos de dois vetores linearmente independentes. Se escolhermos o vetor (1,1,2) como um dos vetores geradores do plano, temos que a condição de ortogonalidade com o plano π 3 é automaticamente satisfeita. Então, para o segundo vetor gerador, iremos escolher o vetor diretor da reta de interseção π 1 ∩ π 2 , pois assim essa reta estará contida no plano que procuramos. Para isso, vamos escrever a equação da reta de interseção na sua forma vetorial. Como todos os pontos sobre ela são da forma

( x , y , z ) = ( 0 , y , y - 1 )

Podemos parametrizar a reta na forma:

r :   ( 0,0 , - 1 ) + y ( 0,1 , 1 )

Da equação acima, vemos que o vetor diretor da reta é o vetor (0,1,1). Assim, podemos escrever a equação do plano, parametrizado por dois parâmetros reais λ   e   μ , como

P : ( 0,0 , - 1 ) + λ ( 0,1 , 1 ) + μ ( 1,1 , 2 )

Se fizermos o parâmetro μ = 0 , estamos sobre a reta de interseção. Por outro lado, se fizermos λ = 0 , temos uma reta com vetor diretor dado pelo vetor ortogonal à π 3 , e portanto, o plano P, por conter o vetor ortogonal à π 3 , é ortogonal a ele.

Agora podemos escrever a equação paramétrica do plano P na forma da equação geral de um plano se observarmos que todos os pontos contidos nessa superfície são da forma:

( x , y , z ) = ( μ , λ + μ , λ + 2 μ - 1 )

Então, para cada ponto do plano temos que suas coordenadas se relacionam na forma

z = x + y - 1

Portanto, essa é a equação do plano que contém a reta π 1 ∩ π 2 e que é ortogonal a π 3 .

Resposta

z = x + y - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 16 x 2 = y 2 + 4 z 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. x 2 + 4 z 2 - y = 0