Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 207 - 24

Encontre a equação do plano que passa por A = 2,4 , 5 , B = 1,5 , 7 e C = - 1,6 , 8 e esboce seu gráfico.

Passo 1

Para encontrar a equação do plano precisamos do vetor normal n → e de um ponto pertencente ao plano. Beleza?

O problema nos fornece 3 pontos pertencentes ao plano. Ou seja, só nos falta encontrar o vetor normal n →

Vamos começar encontrando vetores pertencentes ao plano.

A B → = 1,5 , 7 - 2,4 , 5 = - 1,1 , 2

A C → = - 1,6 , 8 - 2,4 , 5 = ( - 3,2 , 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos dois vetores pertencentes ao plano: A B → e A C →

Se fizermos o produto vetorial entre eles, teremos um vetor que é simultaneamente ortogonal a : A B → e A C → , e consequentemente normal ao plano. Então temos:

n → = A B → ×   A C → = i ^ j ^ k ^ - 1 1 2 - 3 2 3 = 3 - 4 i ^ - - 3 - - 6 j ^ + - 2 - - 3 k ^ = - i ^ - 3 j ^ + k ^

Passo 3

Pronto!!! Temos um vetor normal ao plano. Agora é só montar a equação do plano. Mas qual ponto eu escolho para utilizar como ponto pertencente ao plano na equação??? Qualquer um. Tanto faz. Vou escolher o ponto A . Temos:

n → = a , b , c = - 1 , - 3,1

P 0 = A = x 0 , y 0 , z 0 = ( 2,4 , 5 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 1 x - 2 - 3 y - 4 + 1 z - 5 = 0

- x - 3 y + z = - 9

Passo 4

Vamos fazer os traços do plano.

  • Traço no plano x y ( z = 0 ) :
  • y = 9 - x 3

    O eixo x   é interceptado no ponto ( 9,0 , 0 ) e o eixo y também tem um ponto de

    interseção em ( 0,3 , 0 )

  • Traço no plano y z ( x = 0 ) :
  • z = 3 y - 9

    O eixo z   é interceptado no ponto ( 0,0 , - 9 ) e o eixo y também tem um ponto de interseção em ( 0,3 , 0 )

  • Traço no plano z x ( y = 0 ) :

z = x - 9

O eixo x   é interceptado no ponto ( 9,0 , 0 ) e o eixo z também tem um ponto de interseção em ( 0,0 , - 9 )

Passo 5

Marcando os pontos , fazendo o paralelogramo, hachurando sua área, o gráfico fica:

Resposta

A equação do plano é:

x + 3 y - z = 9

E o seu esboço:

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