Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

Elaboração Própria

Se θ é um ângulo tal que:

0 < θ < π 2

E o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado de sua tangente, então o valor do seu cosseno é:

a) 3 / 3

b) 3 / 2

c) 2 / 2

d) 2 / 3

Passo 1

A partir do enunciado, construímos a equação: 2 sen θ = 3 tg 2 θ

Vamos tentar simplificar essa equação. Vamos começar abrindo a tangente:

2 sen θ = 3 tg 2 θ 2 sen θ = 3 sen 2 θ cos 2 θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já podemos simplificar, cortando o seno:

2 = 3 sen θ cos 2 θ 2 cos 2 θ = 3 sen θ

Pela relação fundamental da trigonometria, temos que: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 sen θ = 1 - cos 2 θ

Substituindo:

2 cos 2 θ = 3 sen θ 2 cos 2 θ = 3 1 - cos 2 θ

Agora, elevamos os dois lados ao quadrado para retirar a raiz: 4 cos 4 θ = 9 1 - cos 2 θ 4 c o s 4 θ = 9 - 9 cos 2 θ

4 c o s 4 θ + 9 cos 2 θ - 9 = 0

Passo 3

Aqui está o pulo do gato da questão. Se fizermos x = cos 2 θ , teremos:

4 c o s 4 θ + 9 cos 2 θ - 9 4 x 2 + 9 x - 9 = 0

Que é uma equação de segundo grau. Podemos resolvê-la por Bhaskara mesmo: x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 9 ± 9 2 - 4 4 - 9 2 4 = - 9 ± 81 + 16 9 8

= - 9 ± 81 + 144 8 = - 9 ± 15 8

Logo, teremos: x 1 = 3 4 x 2 = - 3

Passo 4

Temos que: x = cos 2 θ

Logo: x 2 = cos 2 θ = - 3

Porém, um número ao quadrado não pode dar negativo para o conjunto dos reais, logo descartamos essa raiz, sobrando:

x 1 = cos 2 θ = 3 4

cos θ = 3 4 = 3 2

Esse é o valor do cosseno! Letra b . Ufa!

Resposta

cos θ = 3 2

Letra b .

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