Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Qual é o número de soluções da equação

cos ⁡ 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

No intervalo de [ 0 ; 2 π ) ?

  1. Nenhuma solução
  2. Uma solução
  3. Duas soluções
  4. Três soluções
  5. Quatro soluções

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema pediu para encontrarmos o número de soluções possíveis para essa equação aqui

cos ⁡ 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

Mas calma! O pulo do gato aqui é usar (e abusar) das identidades trigonométricas! Quando temos uma equação em seno e cosseno o que você precisa ter em mente é: trocar tudo ou para SÓ seno ou SÓ cosseno! Os dois na mesma equação dá ruim! E com o mesmo argumento!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Então nossa primeira missão é encontrar uma identidade trigonométrica pra transformar tudo ou em seno, ou em cosseno. Vamos olhar com carinho nossa equação de novo

cos ⁡ 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

Aquele argumento 2 x no cosseno me lembrou o cosseno da soma de ( x + x ) . Lembra que precisamos arrumar de forma que os argumentos fiquem iguais. Como não podemos transformar s e n ( x ) em s e n ( 2 x ) de forma fácil, vamos trabalhar pra transformar o cosseno!

Como recordar é viver, vamos de cosseno da soma de arcos!

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Como temos a = b = x ,

cos ⁡ x + x = cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

E é por essa identidade que vamos substituir aquele cos ⁡ 2 x :

cos ⁡ 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

E agora? Vamos usar a relação fundamental!

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 → cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Aí nossa equação fica assim

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

1 - s e n 2 x - s e n 2 x = 2 - 3 s e n ( x )

E passando tudo para um mesmo lado e juntando os termos semelhantes:

- 2 s e n 2 x + 3 s e n x - 1 = 0

Ficamos finalmente com uma equação só em seno!

Mas e agora?

Passo 3

Agora fazer uma mudança de variáveis! Vamos chamar de y nosso seno:

y = s e n   x

Assim nossa equação com seno fica só em y :

- 2 y 2 + 3 y - 1 = 0

Temos então uma equação de segunda ordem! Bháskara!

aplicando a fórmula temos

y = - ( 3 ) ± ( 3 ) 2 - 4 ( - 2 ) ( - 1 ) 2 ( - 2 ) = - 3 ± 9 - 8 - 4 = - 3 ± 1 - 4

Vamos encontrar duas raízes:

y = 1 2   e   1

Agora precisamos voltar para x !

Passo 4

Nosso y era:

y = s e n x

E encontramos dois valores para y . Então vamos ver em quantos ângulos x diferentes e dentro de um período esses valores ocorrem! Essas serão as soluções!

Vamos começar com y = 1 / 2 :

1 2 = s e n x

Dentro de um período ( 0 ,   2 π ] , esse valor se repente em duas ocasiões:

x = π 6   e 5 π 6

Então aqui já temos duas soluções.

Agora vamos ver para y = 1 :

1 = s e n   x

Esse valor se repete apenas 1x no período!

x = π 2

Então ao todo temos três soluções para nossa equação!

E a alternativa que diz isso é ( D )

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( D )

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