Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Resolva a equação cos 2 ⁡ x + sen ⁡ x - 1 = 0 , sendo x um arco pertencente ao intervalo [ 0,2 π ] .

Passo 1

Bom, vamos começar manipulando da seguinte forma:

cos 2 ⁡ x + sen ⁡ x - 1 = 0

sen ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Sendo que, pela relação fundamental:

1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Então:

sen ⁡ x = sen 2 ⁡ x

sen 2 ⁡ x - sen ⁡ x = 0

Colocando em evidência:

sen ⁡ x sen ⁡ x - 1 = 0

Isso significa que:

sen ⁡ x = 0   o u   sen ⁡ x = 1

Passo 2

Para sen ⁡ x = 0 , temos que:

x = arc sen ⁡ 0

x = k π ,   c o m   k   i n t e i r o

Para sen ⁡ x = 1 , temos que:

x = arc sen ⁡ 1

x = π 2 + 2 k π ,   c o m   k   i n t e i r o

Passo 3

Mas como temos que x ∈ [ 0,2 π ] , precisamos dos valores de x que estejam dentro desse intervalo!

Para k = 0 :

x = k π   e   x = π 2 + 2 k π → x = 0   e   x = π 2

Para k = 1 :

x = k π   e   x = π 2 + 2 k π → x = π   e   x = π 2 + 2 π = 5 π 2

Mas 5 π 2 não está no intervalo, já que é maior que 2 π .

Para k = 2 :

x = k π   e   x = π 2 + 2 k π → x = 2 π   e   x = π 2 + 4 π = 9 π 2

Mas 9 π 2 não está no intervalo! Então temos 4 soluções possíveis:

x = 0 ,   x = π 2 , x = π   e   x = 2 π

Resposta

x = 0 ,   x = π 2 , x = π   e   x = 2 π

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