Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Se x ∈ [ 0 ,   π ] , determine a maior das soluções da equação:

2 cos ⁡ 2 x + 1 = 0

Passo 1

Bom, primeiro boa isolar esse cosseno:

cos ⁡ 2 x = - 1 2

cos ⁡ 2 x = - 2 2

Então temos que:

2 x = arccos ⁡ - 2 2

Passo 2

E os ângulos que possuem esse cosseno são:

135 ° + v o l t a s   n o   c í r c u l o = 3 π 4 + 2 k π

225 ° + v o l t a s   n o   c í r c u l o = 5 π 4 + 2 k π

Então:

2 x = 3 π 4 + 2 k π

x = 3 π 8 + k π

E:

2 x = 5 π 4 + 2 k π

x = 5 π 8 + k π

Passo 3

Agora vamos testar os valores de k para que o x pertença ao intervalo [ 0 , π ] .

Para k = 0 :

x = 3 π 8 + k π   e   x = 5 π 8 + k π → x = 3 π 8   e   x = 5 π 8

Para k = 1 :

x = 3 π 8 + k π   e   x = 5 π 8 + k π → x = 3 π 8 + π = 11 π 8   e   x = 5 π 8 + π = 13 π 8

Porém, 11 π 8 e 13 π 8 estão fora do intervalo [ 0 , π ] , já que são maiores do que π . Portanto, as respostas são x = 3 π 8 e x = 5 π 8 . Como ele quer a maior, temos que x = 5 π 8 .

Resposta

x = 5 π 8

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