Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Esboce o gráfico das funções f x = tan ⁡ x e g x = arctan ⁡ x . Determine o domínio e sua imagem. Descreva que relação existe entre elas.

Passo 1

Para responder essa questão iremos primeiro desenvolver os gráficos.

Com ajuda do Geogebra, o gráfico para f x = tan ⁡ x é,

Passo 2

Para o gráfico de g x = arctan ⁡ x , temos

Passo 3

A função f(x)=tan(x) é uma função periódica com período π. É infinita em x=2π​+2kπ e x=−2π​+2kπ, onde k é qualquer inteiro. A função g(x)=arctan(x) é uma função bijetiva do intervalo (−∞,∞) para o intervalo (−2π​,2π​). É contínua, diferenciável, e tem uma derivada de 1 em x=0.

O domínio de f(x)=tan(x) é todos os números reais. A imagem de f(x)=tan(x) é o conjunto dos números reais.

O domínio de g(x)=arctan(x) é o intervalo (−∞,∞). A imagem de g(x)=arctan(x) é o intervalo (−2π​,2π​).

A relação entre f(x)=tan(x) e g(x)=arctan(x) é que g(f(x))=x para todos os números reais x. Em outras palavras, g(x) é a função inversa de f(x).

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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