Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

17. Quantas soluções a equação

3 cos ⁡ 3 x - 3 π 2 = 3 2

Possui no intervalo [ 0,2 π ] ?

  1. Nenhuma solução.
  2. Duas soluções.
  3. Quatro soluções.
  4. Seis soluções.
  5. Oito soluções.

Passo 1

Fala aí pessoal! Essa questão tá querendo que a gente resolva a equação

3 cos ⁡ 3 x - 3 π 2 = 3 2

Desde que o x esteja entre 0 ≤ x ≤ 2 π e a gente veja quantos x são solução.

A maneira que a gente vai fazer é a seguinte. Vamos começar isolando aquele cosseno gigante ali, dividindo tudo por 3 :

cos ⁡ 3 x - 3 π 2 = 1 2

Agora a gente sabe que o cosseno daquela função de dentro tem que dar 1 2 .

Passo 2

Como a gente manipulou a gente se deparou com a equação

cos ⁡ 3 x - 3 π 2 = 1 2

Que no fundo tá nos perguntando o seguinte. Qual ângulo (entre 0 e 2 π ) o cosseno dá 1 2 ?Sabemos que é o 60 o = π 3 ou 330 o = 5 π 3 . Então temos duas equações:

3 x - 3 π 2 = π 3

Ou

3 x - 3 π 2 = 5 π 3

Vamos ver se elas possuem solução!

Passo 3

Vamos resolver 3 x - 3 π 2 = π 3

3 x = π 3 + 3 π 2

Fazendo o M M C no lado da direita temos

3 x = 2 π 6 + 9 π 6 = 11 π 6

x = 11 π 18

Que é nossa primeira solução!

Passo 4

Agora a gente vai resolver a equação

3 x - 3 π 2 = 5 π 3

3 x = 5 π 3 + 3 π 2 = 10 π + 9 π 6 x = 19 π 18

Opa! Encontramos uma segunda solução da nossa equação. Isso significa que a equação possui duas soluções possíveis😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra b.

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