Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Verifique que cada uma das questões abaixo possui pelo menos uma solução

b )   3 - cos ⁡ π x = e 2 x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos deu essa equação aqui

3 - cos ⁡ π x = e 2 x

E perguntou se existe pelo menos uma solução! Bom, para isso, vamos facilitar nossa vida né? Vamos achar uma função que represente essa equação e que quando for solução, a função será zero

f x = 3 - cos ⁡ π x - e 2 x

(na prática é só jogar todos os termos para um mesmo lado, igualar a zero e chamar isso de função f ( x ) )

E aí, fazemos o que com isso?

Teorema do valor inicial!

Teorema do valor inicial nos diz que se a função é contínua em um intervalo fechado (nosso caso seno e polinômio são super comportados) e se em um extremo do intervalo a função assume algum valor negativo e no outro extremo assume valor positivo, então existe algum valor dentro desse intervalo que a função é zero, e, portanto, temos uma raiz!

Então a ideia é achar uma função f x = 0 , verificar em que intervalo ela passa do negativo para positivo (ou vice e versa), ou seja, encontrar raiz!

E a raiz é solução da nossa equação! Então é isso!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

Nossa equação é

3 - cos ⁡ π x = e 2 x

E a função f x = 0 que podemos formar a partir dessa equação é

f x = 3 - cos ⁡ π x - e 2 x

Precisamos encontrar um zero dessa função. Mas isso é bem complicado, pois temos um seno e um x . Mas então, o que fazer?

Lembra que precisamos de um intervalo no qual essa função troque de sinal, e quando temos funções periódicas (tipo o seno e o cosseno) a ideia é usar os pontos nos quais essa função (no caso o cosseno) atinge seu maior e menor valor, assim vamos ter uma imagem negativa e outra positiva, indicando que ali no meio deve ter uma raiz!

E você já sabe, se tem raiz, é porque a equação tem pelo menos uma solução! E é isso que o problema quer saber!

Passo 3

Vamos testar primeiro onde o cosseno vale - 1 : x = 1

f 1 = 3 - cos ⁡ π - e 2 ≈ - 3,38 < 0

Beleza? Agora vamos testar no x que o cosseno tem seu valor máximo: x = 0

f 0 = 3 - cos ⁡ 0 - e 0 = 1 > 0

Beleza até aqui?

Então sabemos que no intervalo 0 ; 1 a função

f x = 3 - cos ⁡ π x - e 2 x

Tem pelo menos 1 raiz! Ou seja, existe um ponto x 0 nesse intervalo que

3 - cos ⁡ π x 0 - e 2 x 0 = 0

3 - cos ⁡ π x 0 = e 2 x 0

Que é solução da nossa equação! Então sim, essa equação tem pelo menos 1 solução!

Resposta

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