Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 113, 3/69

Uma banqueta de três pernas está submetida à carga L , como mostrado. Determine a força de reação vertical sob cada perna. Despreze o peso da banqueta.

Passo 1

O que queremos saber nessa questão é quais são os módulos das forças de reação: N A ,   N B   e   N C .

Em primeiro lugar, veja que as forças de reação em B   e   C serão iguais. Por quê? Porque existe um plano de simetria passando entre B   e   C :

Esse plano divide a figura em duas partes iguais. Faz sentido pensar que tudo que ocorrer fisicamente em uma metade ocorrerá na outra também, não é mesmo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos testar o equilíbrio de momentos em relação ao eixo x :

∑ M → x = 0 →

Mas vamos ser espertos: passaremos o eixo x em cima do ponto A . Dessa forma, o momento que N A realizar será nulo em relação a esse eixo:

Passo 3

Beleza! Agora só precisou calcular o momento que cada força faz em relação a esse eixo.

Assim de cara, perceba que as forças de reação apontarão na direção contrária à força L .

Além disso, veja que a direção horizontal da força L até o eixo x é de:

d = 100 + 75 = 175   m m .

Assim, podemos dizer que o momento da força é dado por:

M L = L . 175.10 - 3   N ⋅ m

Vamos atribuir a este momento o valor positivo. E o valor negativo ao momento das outras forças.

Passo 4

Bom, vamos às outras forças. Em primeiro lugar, pela simetria, como vimos, elas serão iguais:

N → B = N → C = N →

E qual será a distância das forças até o eixo?

Temos que usar um pouco de trigonometria:

Essa é a vista de cima da projeção do banco no chão.

Qual é a distância de B até A ?

Basta a gente formar o triângulo abaixo em cima da figura:

Em outras palavras, a distância vai ser igual a 250   m m mais o lado ( l ) do triângulo acima. Podemos calcular o lado l usando trigonometria:

cos ⁡ 60 ° = l 250         →           l = 250 cos ⁡ 60 °

Então, a distância total do ponto B até o ponto A é:

d B A = 250 + 250 cos ⁡ 60 ° = 250 1 + cos ⁡ 60 ° = 250 1 + 0,5

d B A = 375   m m

E a distância de C até A ? Mesma coisa, já que é simétrico:

d C A = 375   m m

Passo 5

Beleza, então os momentos de cada força N → valerão:

M N = - 375.10 - 3   N ⋅ m

Usando a relação:

∑ M → x = 0 →

L . 175.10 - 3 + 2 . - 375.10 - 3 N = 0

Simplificando e isolando essa parada:

N = 175 2.375 L

N = 0,233 L

Passo 6

Beleza, mas falta achar N A → . Agora ficou fácil: Bata a gente usar o equilíbrio das forças:

∑ F → z = 0 →

Perceba que a forças normais apontam em um sentido contrário ao da força L .   Assim:

L - 2 . 0,233 L - N A = 0 →   N A = 0,533 L

Resposta

N B = N C = 0,233 L

N A = 0,533 L

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