Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

Ver Teoria

Enunciado

03) A placa quadrada A B C D , de lado 2 a e densidade superficial ρ , está soldada a uma segunda placa quadrada de lado a e densidade superficial ρ ' . O centro O conjunto é apoiado em A e C e articulado às barras de peso desprezível E D e B F , conforme indicado na figura. Sabendo-se que o peso da peça única constituída pelas duas placas homogêneas é P e que o seu centro de massa G se situa na posição ( 0 , a 4 , 0 ) , pede-se:

a) Determinar ρ e ρ ' em função de P e dos demais dados fornecidos;

b) Desenhar os diagramas de corpo livre da placa e das barras;

c) Determinar, em função de P , as reações nos apoios A e C e as forças nas barras E D e B F .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma placa grandona sobre a qual é soldada uma placa menor. O problema é que elas possuem densidades superficiais diferentes, ρ e ρ ' , respectivamente.

a) Nesse primeiro item, devemos determinar o valor de ρ e ρ ' . Geralmente, quando temos uma placa homogênea é só fazer:

ρ = M A

Onde M é a massa da placa e A a área superficial. Mas e nesse caso que temos duas placas diferentes, o que dá pra ser feito?

Então, a ideia é fazer um ajuste nas equações. Tipo, a massa total das placas, por exemplo, é dada por:

M t o t a l = M p 1 + M p 2

M p 1 é a massa da placa maior, e pode ser calculado como uma placa homogênea normal, daí:

M p 1 = ρ ⋅ 2 a 2

Analogamente para a placa menor:

M p 2 = ρ ' ⋅ a 2

No enunciado, a massa total é dada através do Peso.

M t o t a l = P / g

⇒ P g =   4 ρ a 2 +   ρ ' a 2         ( I )

Outra equação que podemos usar é a do centro de massa. Sabemos que, em y por exemplo, a posição do centro de massa é dada por:

y C M = y 1 ⋅ M p 1 + y 2 ⋅ M p 2 M t o t a l

y 1 está bem no centro da placa grande, ou seja, na origem. Já y 2 está no meio da placa menor, ou seja, no meio do quadrado A ' B ' C ' D ' , assim y 2 = a 2 .

Escrevendo a equação, e sabendo que pelo enunciado y C M = a / 4 , temos:

a 4 = 0 ⋅ 4 a 2 ρ + a 2 ⋅ ρ ' a 2 P g

Daí, vem que:

2 P 4 g ⋅ 1 a 2 = ρ '

∴ ρ ' = P 2 a 2 g

Logo, pela equação ( I ) :

P g = 4 ρ a 2 + P 2 a 2 g ⋅ a 2

ρ = P 8 a 2 g

Prontinho! 😉

Passo 2

b) Nesse item precisamos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) das barras e do conjunto de placas soldadas.

Começando pelas barras, ambas estão sendo tracionadas (ou comprimidas) ao longo do seu eixo, de modo que podemos desenhar:

Já para a estrutura das placas, temos basicamente a força peso atuando no seu centro de massa, e as reações dos nós A , B ,   C e D . Daí:

Passo 3

c) Aqui a questão nos pede para encontrar as reações nos apoios A e C e as forças nas barras E D e B F .

A ideia é escrever as equações de equilíbrio da placa, em X , Y e Z . Além das equações dos momentos, que também são nulos. Assim, olhando para o DCL da placa, temos:

∑ F X = 0 ∴ X C = 0       ( I )

∑ F Y = 0 ∴ Y C + Y A = 0       ( I I )

∑ F Z = 0 ∴ Z C + F B F + F D E - P = 0       ( I I I )

Ainda precisamos de mais 3 equações, pois temos 6 variáveis. Daí:

M X = 0 ∴ F B F ⋅ a - F D E ⋅ a - P ⋅ a 4 + Z C ⋅ a = 0       ( I V )

M Y = 0 ∴ F B C ⋅ a - F D E ⋅ a - Z C ⋅ a = 0       ( V )

M Z = 0 ∴ Y A ⋅ a +   - X C ⋅ a - Y C ⋅ a = 0       ( V I )

De ( V I ) , vem que:

Y A = Y C

Substituindo esse resultado em I I , temos:

Y A = Y C = 0

De ( V ) , temos:

F B C = F D E + Z C

Substituindo esse resultado em I V , temos:

2 Z C ⋅ a = P a 4

⇒ Z C = P 8

Massa! Substituindo ambos resultados em I I I , temos:

P 8 + F D E + P 8 + F D E - P = 0

2 F D E = 3 P 4

F D E = 3 P 8

Pra finalizar mais uma questãozinha, é só encontrar F B C :

F B C = F D E + Z C

F B C = P 8 + 3 P 8 = P 2

Onde os sentidos propostos inicialmente estavam corretos 😊

Prontinho, galera! Matamos mais uma questão.

Espero vocês na próxima, tamo junto 😊

Resposta

a) ρ ' = P 2 a 2 g

ρ = P 8 a 2 g

b) Resolução no texto.

c) Resolução no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

A estrutura de três membros é conectada em suas extremidades por meio de juntas esféricas. Determine as componentes x , y , z da reação em B ea tração no membro E D . A força agindo em D é F = 135 i ^
A estrutura de três membros é conectada em suas extremidades por meio de juntas esféricas. Determine as componentes x , y , z da reação em B e a tração no membro E D . A força agindo em D é F = 135 i
Uma placa circular horizontal de peso igual a 267 N é suspensa por três fios que são ligados a um suporte D e formam ângulos de 30° com a vertical. Determine a tração em cada fio.
Por que as equações escalares de equilíbrio da estática no espaço tridimensional são em número de seis? Mais do que três equações de momento nulo podem ser consideradas nessa equação? Como e por quê?
Determine as forças trativas nos cabos A B , A C e A D .