Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 115, 3/112

O mastro de 400   k g , com centro de massa em G , é mantido na posição mostrada por uma rótula em O e por dois cabos A B e A C . Determine as forças trativas nos dois cabos e as componentes x , y e z da força de reação em O .

Passo 1

O sistema acima pode ser representado pelo desenho abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever cada uma das forças na forma vetorial:

Coordenadas do ponto A :

Temos uma coordenada no eixo z :

A z = O A s e n 55 ° = 15 s e n 55 ° = 12,28   m

Pra achar as coordenadas x   e   y , basta projetar na horizontal e depois projetar em cada um dos eixos, x   e   y :

A x = - 15 cos ⁡ 55 ° s e n 40 ° = - 5,53   m

A y = - 15 cos ⁡ 55 ° cos ⁡ 40 ° = - 6,59   m

Assim:

A ^ = - 5.53 , - 6.59,12.28 m

E as coordenadas do centro de gravidade (onde o peso é aplicado)?

G z = 9 s e n 55 ° = 7,37   m

G x = - 9 cos ⁡ 55 ° s e n 40 ° = - 3,31   m

G y = - 9 cos ⁡ 55 ° cos ⁡ 40 ° = - 3,95   m

Assim:

G ^ = - 3.31 , - 3.95,7.37 m

As coordenadas de B   são:

B ^ = 12,0 , 0   m

E de C :

C ^ = 0,12,0   m

Passo 3

Assim:

T → A B = T A B B ^ - A ^ B ^ - A ^

Então:

T → A B = T A B 12 + 5,53 i ^ + 6,59 j ^ - 12,28 k ^ 12 + 5,53 2 + 6,59 2 + 12,28 2

T → A B = T A B ( 0,78 i ^ + 0,29 j ^ - 0,549 k ^ )

E:

T → A C = T A C . C ^ - A ^ C ^ - A ^

T → A C = T A C . 5,53 i ^ + 6,59 + 12 j ^ - 12,28 k ^ 5,53 2 + 6,59 + 12 2 + 12,28 2

T → A C = T A C ( 0,241 i ^ + 0,810 j ^ - 0,53 5 ^ )

O peso é dado por:

P → = 400.10 - k ^ = - 4000 k ^

E ainda temos as forças de reação em O :

O ^ = O x i ^ + O y j ^ + O z k ^

Passo 4

Vamos aplicar as equações de equilíbrio de forças:

∑ F x = 0 → 0.783 T A B ⏟ T A B x + 0.241 T A C ⏟ T A C x + O x = 0

∑ F y = 0   → 0.294 T A B ⏟ T A B y + 0.810 T A C ⏟ T A C y + O y = 0

∑ F z = 0 →   - 0.549 T A B ⏟ T A B z - 0.535 T A C ⏟ T A C z + O Z - 4000 = 0

Percebam que temos 3 equações e 5 incógnitas T A B , T A C , O x , O y , O z ! Precisamos de mais 2 equações para determinar todas as incógnitas.

Acho que chegou o Momento de perguntar quais são essas 2 equações, certo? Vamos trabalhar com o equilíbrio de momentos na direção B C na direção do eixo O y :

∑ M B C = 0 → ∑ M → B n → B C = 0

- 12 i ^ ⏟ r → O z x O z k ^ + - 12 - 3.31 i ^ - 3,95 j ^ ⏟ r → P x - 4000 k ^ ⏟ P → - 2 2 i ^ + 2 2 j ^ ⏟ n B C → = 0

12 O Z - 62368 2 2 - 16080 2 2 = 0

E:

∑ M O y = 0 → 0.549 T A B 12 - 4000 3,31 = 0

Resolvendo o sistema de equações acima:

O x = - 2175,18   N

O y = 2588,6   N

O Z = 6427,68   N

T A B = 2019,49   N

T A C = 2464,31   N

Resposta

O x = - 2175,18   N

O y = 2588,6   N

O Z = 6427,68   N

T A B = 2019,49   N

T A C = 2464,31   N

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