Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 112, 3/62

Uma chapa quadrada e uniforme de aço de 360   m m de comprimento de aresta e uma massa de 15 k g está suspensa no plano horizontal pelos três fios verticais, como mostrado. Calcule a força trativa de cada fio.

Passo 1

Vamos desenhar o sistema junto com os eixos:

Para que a placa esteja em equilíbrio, as seguintes relações precisam ser satisfeitas:

M x = 0

M y = 0

F z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro calcular os momentos em relação ao eixo x :

M x = 0

Para isso, perceba que T A   e   T C tendem a girar a placa em torno do eixo x no mesmo sentido; já o peso, tende a girar a placa no sentido contrário. Além disso, perceba que T A está a uma distância de 120   m m do eixo x , T C a uma distância de 360   m m e P a uma distância de 180   m m :

Sendo, o módulo da força peso da placa igual a:

P = P = m g = 15.10 = 150   N

Então, os momentos de cada uma das forças com relação ao eixo x é::

M A + M C - M p = 0

T A ( 120.10 - 3 ) + T C ( 360.10 - 3 ) - 150 . 180.10 - 3 = 0

Como todos os termos estão multiplicados por 10 - 3 , podemos cortar ele da equação:

120 T A + 360 T C = 27000

Dividindo tudo por 10 :

12 T A + 36 T C = 2700

E perceba que T B não realiza momento, pois ele está bem em cima do eixo x e não tem braço de alavanca com relação a este eixo.

Passo 3

Agora vamos para o eixo y :

Aqui as forças T A   e   T C continuam exercendo momento de sentidos iguais assim como o momento do peso continua se opondo a eles. O que mudou foi a distância das forças:

T A   está a uma distância de 360   m m do eixo y , e T C está a uma distância de 180   m m do eixo. P tem uma distância de 180   m m do eixo:

T A ( 360.10 - 3 ) + T C ( 180.10 - 3 ) - 150 ( 180.10 - 3 ) = 0

Cortando todos os 10 - 3 :

360 T A + 180 T C = 27000

36 T A + 18 T C = 2700

Passo 4

Já temos esse sistema aqui:

12 T A + 36 T C = 2700

36 T A + 18 T C = 2700

Podemos subtrair a primeira equação da segunda:

- 24 T A + 18 T C = 0                     T C = 1,33 T A

Substituindo essa relação na segunda equação:

36 T A + 18 1,33 T A = 2700

36 T A + 24 T A = 2700

60 T A = 2700                     T A 45   N

E T C será:

T C = 1,33 T A 60   N

Passo 5

Agora, para achar T B , basta a agente usar a relação do equilíbrio das forças:

F z = 0

T A + T B + T c - P = 0

45 + 60 + T B - 15.10 = 0

T B = 150 - 45 - 60 = 45   N

Assim:

T B = 45   N

T C = 60   N

T A = 45   N

Resposta

T B = 45   N

T C = 60   N

T A = 45   N

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