Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 113, 3/104

Se o peso do mastro é desprezível comparado à carga de 30   k N aplicada, determine as forças trativas T 1 e T 2 nos cabos e a força atuando na rótula em A .

Passo 1

O diagrama de corpo livre fica assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que calcular a direção e sentido da força trativa T 1 que é dada pela reta que vai do ponto B em direção ao ponto C :

n B C = B C B C

Temos que as coordenadas dos pontos B e C são:

B = 0 ; 0 ; 9

E:

C = 4 ; 3 ; 0

Então:

B C = 4 ; 3 ; 0 - 0 ; 0 ; 9                 B C = ( 4 ; 3 ; - 9 )

Então, o vetor normalizado fica:

n B C = ( 4 ; 3 ; - 9 ) ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 + ( - 9 ) 2

n B C = ( 0,389 ; 0,291 ; - 0,874 )

Então, o vetor da força trativa T 1 fica:

T 1 = T 1 n B C                   T 1 = T 1 ( 0,389 ; 0,291 ; - 0,874 )

Já o vetor T 2 é paralelo ao eixo x , então podemos escrever:

T 2 = - T 2 i ^

Passo 3

Vamos começar calculando o momento em relação ao eixo x :

M x = 0

Repare que somente a componente y da força T 1 vai ter braço de alavanca com relação ao eixo x :

Então:

M x = 0

30 4 - T 1 y 9 = 0

30 4 - 0,291 T 1 9 = 0

T 1 = 45,8   k N

Passo 4

Agora vamos calcular o momento com relação ao eixo y . As forças que exercem momento com relação a este eixo são:

Então:

M y = 0

T 2 6 - T 1 x 9 = 0

T 2 6 - 0,389 T 1 9 = 0                     T 2 6 - 0,389 ( 45,8 ) 9 = 0

T 2 = 26,7   k N

Passo 5

Para achar as reações de apoio, vamos fazer o somatório das forças:

F = 0

A + T 1 + T 2 - 30 j ^

A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ + 45,8 0,389 i ^ + 0,291 j ^ - 0,874 k ^ - 26,7 i ^ - 30 j ^ = 0  

Vamos ter que separar as equações de acordo com as componentes:

E m   x             A x + 17,8 - 26,7 = 0

E m   y             A y + 13,3 - 30 = 0

E m   z             A z + 40 = 0

Então, a reação A x é:

A x + 17,8 - 26,7 = 0

A x = 8,9   k N

A reação A y é:

A y + 13,3 - 30 = 0

A y = 16,7   k N

E a reação A z fica:

A z + 40 = 0

A z = 40   k N

Então, o vetor A é:

A = 8,9 i ^ + 16,7 j ^ + 40 k ^   k N

E a resultante fica:

A = ( 8,9 ) 2 + ( 16,7 ) 2 + ( 40 ) 2

A = 44,2   k N

Resposta

T 1 = 45,8   k N

T 2 = 26,7   k N

A = 44,2   k N

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