Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 113, 3/81 - Modificada

A porta retangular de acesso com 25   k g é mantida na posição aberta, a 90 ° , pelo apoio simples C D . Determine a força F no apoio e o módulo da força normal ao eixo de abertura A B em cada pequena dobradiça A e B . Considere que na dobradiça B a força horizontal e paralela à parede seja nula.

Passo 1

Podemos representar o sistema com o desenho abaixo:

Nós não sabemos quanto vale o módulo da força F C D , mas sabemos calcular a direção dela. Repare que o ponto D tem as seguintes coordenadas:

D = ( - 1.2 ; 0.6 ; 0 ) m

E as coordenadas do ponto C são:

C = 0 ; 1.2 ; 0.3 m

Então, a direção C D → é:

C D → = 0 ; 1.2 ; 0.3 - ( - 1.2 ; 0.6 ; 0 )

C D → = ( 1.2 ; 0.6 ; 0.3 ) m

Agora temos que transformar isso em um vetor unitário, para isso é só dividirmos pelo seu módulo. Então, vamos começar calculando o módulo:

C D → = ( 1.2 ) 2 + ( 0.6 ) 2 + ( 0.3 ) 2

C D → = 1,375   m

Então, o vetor unitário vai ser:

n → C D = C D → C D →           →         n → C D = ( 1.2 ; 0.6 ; 0.3 ) 1,375

n → C D = 0,873 i ^ + 0,436 j ^ + 0,218 k ^

Agora sim podemos calcular a nossa força F → C D :

F → C D = F n → C D

F → C D = F ( 0,873 i ^ + 0,436 j ^ + 0,218 k ^ )

Como não sabemos o valor de F , vamos deixar assim!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso próximo passo é calcular o módulo da força peso da porta:

P = 25 9,81       →             P = 245   N

Agora que conhecemos todas as forças vamos calcular o momento de cada uma delas com relação aos eixos x , y e z . Vamos escrever a força F → C D em termos de suas componentes para facilitar a visualização:

Vamos começar pelo eixo z .

Repare que somente o peso e a componente x da força F → C D exercem momento com relação ao eixo z . Isso porque as outras forças não possuem braço de alavanca. Então, vamos lá:

∑ M → z = 0 →

245 0,6 - 0,873 F 1,2 = 0 → F = 140,5   N

No eixo y , a força B → x , o peso P → e a componente x da força F → C D possuem braço de alavanca com relação a este eixo: ∑ M → y = 0 →

B x 1,3 - 245 0,65 + 0,873 F 0,3 = 0

Como já sabemos o valor do F , temos que:

B x 1,3 - 245 0,65 + 0,873 ( 140,5 ) 0,3 = 0

B x = 94,3   N

E por último no eixo x , as forças que exercem momento são B → y e a componente z da força F → C D :

∑ M → x = 0 →

- B y 1,3 + 0,218 F 0,6 = 0

B y = 14,15   N

Passo 3

Vamos usar o equilíbrio de forças para achar as forças que faltam:

∑ F → y = 0 →

A y + 14,15 + 0,436 F = 0         →         A y = - 75,5   N

No eixo x :

∑ F → x = 0 →

A x + 94,3 + 0,873 F - 245 = 0         →         A x = 28,3   N

No eixo z só temos as forças A → z e B → z , então elas vão ser nulas:

∑ F → z = 0 →

A z + B z + 0,218 F = 0

O enunciado nos diz para considerarmos a força horizontal e paralela à parede da dobradiça B como nula! Essa força que ele tá falando nada mais é do que B z , assim

B z = 0

A z = - 0,218 F = - 0,218 × 140,5

A z = 30,6   N

Então, a resultante das reações nos pontos A e B são:

A → = - 75,5 2 + 28,3 2 + 30,63 2 = 8 6 , 2   N

B → = 94,3 2 + 14,15 2 = 95,4   N

E a força F → C D fica:

F → C D = 140,5 0,873 i ^ + 0,436 j ^ + 0,218 k ^   N

Resposta

A → = 86,2   N

B → = 95,4   N

F → C D = 140,5 0,873 i ^ + 0,436 j ^ + 0,218 k ^   N

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