Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

Elaboração Própria

Ache as raízes de f x = - x 2 + 4 x - 3 , obtenha e classifique como máximo ou mínimo o vértice V = ( x , y ) e estude o sinal da função:

Passo 1

Beleza, vamos passo-a-passo. A raiz da função será quando: f x = 0

Ou seja:

- x 2 + 4 x - 3 = 0

Agora é só fazer por Bháskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 16 - 4 - 1 ( - 3 ) 2 ( - 1 ) = - 4 ± 4 - 2 = - 4 ± 2 - 2 = 1,3

Assim:

x 1 = 1 x 2 = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o jovem pediu para a gente classificar o vértice V da parábola como máximo ou mínimo. Não pediu para calcular, só classificar como máximo ou mínimo. Para isso temos que ver a concavidade da função.

Como temos - x 2 , a < 0 e, portanto, a função é côncava para baixa.

Como é côncava para baixo, seu vértice será um ponto de máximo (sim, o contrário da concavidade).

Passo 3

Finalmente, temos que fazer o estudo do sinal da função, que é basicamente verificar quando é positiva ou negativa.

A função só muda de sinal quando passa pela raiz, então vamos verificar o sinal em cada intervalo formado pelas raízes.

Nesse caos, as raízes são:

x 1 = 1 x 2 = 3

Então, elas formarão 3 intervalos:

( - , 1 ) 1 , 3 3 ,

Beleza, agora é só pegar algum valor dentro de cada intervalo (escolhemos sempre o mais conveniente) e esse valor terá o mesmo sinal que todo o intervalo, já que só muda de sinal quando passa pela raiz e os intervalos são limitados por elas. Para o primeiro filhote, podemos escolher:

f - 5 = - - 5 2 + 4 - 5 - 3 = - 25 - 20 - 3 = - 48 < 0

Para o segundo, temos um valor bem bonito a nossa espera:

f 2 = - 2 2 + 4 2 - 3 = 1 > 0

Para o terceiro:

f 5 = - 5 2 + 4 5 - 3 = - 25 + 20 - 3 = - 8 < 0

Portanto, a função será positiva para:

x ( 1 , 3 )

E negativa para: x - , 1 3 ,  

Onde esse significa união, ou junção desses intervalos.

Resposta

Raízes:

x 1 = 1 x 2 = 3

Vertíce é ponto de máximo.

Positiva para:

x ( 1,3 )

Negativa para:

x - , 1 3 ,  

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