Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

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Enunciado

10 - A altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de 15 c m / m i n enquanto a área do triângulo está aumentando a uma taxa de 2 c m 2 / m i n . A que taxa a base do triângulo está variando quando a altura for 10 c m e a área for 100 c m 2 ?

Passo 1

Como vai, meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Nesse problema, temos um triângulo cuja altura aumenta a uma taxa de 15 c m / m i n e sua área aumenta a uma taxa de 2 c m 2 / m i n .

A partir dessas informações, queremos saber qual é a variação da base do triângulo quando a altura for 10 c m e a área for 100 c m 2 .

E aí, como podemos fazer isso? 👀

Vamos começar escrevendo a área do triângulo...

A = b · h 2

Nesse caso, b , h e A são funções de t pois estão variando em função do tempo

Sacou? 😁

Passo 2

Derivando os dois lados em relação ao tempo t , temos

d A d t = d b · h 2 d t

d A d t = 1 2 d b h d t

Como b e h são funções, na derivada de d b h d t temos que aplicar a regra da cadeia

d A d t = 1 2 d b d t · h + b · d h d t

Queremos saber a taxa de variação da base, então vamos isolar d b d t em um lado da igualdade

d A d t = h 2 d b d t + b 2 d h d t

d b d t = 2 h d A d t - b 2 d h d t

A variação a área A foi dada assim como a variação da altura e a própria altura instantânea do momento em que estamos interessados.

Mas ainda precisamos obter a base b no instante da análise.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para obter a base, vamos usar a fórmula da área do triangulo

A = b · h 2

A área A = 100 c m 2 e a altura h = 10 c m , logo...

100 = b · 10 2

b = 20 c m

Substituindo essas informações na equação d b d t , temos

d b d t = 2 h d A d t - b 2 d h d t

d b d t = 2 10 2 - 20 2 15

d b d t = 1 5 - 148

d b d t = - 29,6 c m / m i n

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

d b d t = - 29,6 c m / m i n

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