Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

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Enunciado

14 - Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1,5 m / s . Um holofote localizado no chão a 6 m do caminho é mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 8 m do ponto do caminho mais próximo da luz?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Temos a seguinte situação nesse problema: um homem anda em linha reta a uma velocidade de 1,5 m / s e um holofote que ilumina o homem está localizado a 6 m da reta que o homem traça ao se mover.

Nessas condições queremos saber qual é a velocidade do holofote quando o homem está a 8 m de distância do ponto mais próximo ao holofote.

E agora? O que vamos fazer?? 😱

Passo 2

Primeiro vamos modelar o problema...

Se o homem anda em linha reta e o holofote está a 6 m de distância do ponto mais próximo, podemos dizer que o eixo y é a trajetória do homem e em x = 6 m é o ponto onde o holofote se encontra. Condensando essas informações no plano x y ...

O ponto h é fixo, mas o ponto a varia a 1,5 m / s .

Temos que obter uma equação que relacione o ângulo θ com as distancias de H e A .

Podemos pensar que a tangente de θ é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, ou seja

t g θ = a h

Como h é fixo, então

t g θ = a 6

Aproveitando essa equação, no instante da análise do problema, o ângulo θ é dado quando a = 8 m

θ = t g - 1 8 6 = 53,13 °

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora, se derivarmos a equação t g θ = a 6 com relação a t , podemos obter a taxa de variação de θ , veja só

d t g θ d t = d a 6 d t

Como θ é uma função de t , para a derivada de t g θ temos que aplicar a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora...

d t g θ d θ d θ d t = 1 6 d a d t

sec 2 ⁡ θ d θ d t = 1 6 d a d t

Como a taxa de variação de a é a velocidade do homem 1,5 m / s e θ = 53,13 ° , temos

sec 2 ⁡ 53,13 ° d θ d t = 1 6 1,5

d θ d t = 1,5 6 · sec 2 ⁡ 53,13 °

d θ d t = 1,5 6 · 2,77

d θ d t = 0,09 r a d / s

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d θ d t = 0,09 r a d / s

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