Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

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Enunciado

Um arame de 36   c m de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será dobrado para formar um quadrado e o outro, para formar um triângulo equilátero. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um arame de 36   c m que vai ser cortado pra formar um quadrado e um triângulo equilátero, e ele quer saber como a gente pode cortar esse arame pra que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja mínima. Como nós podemos avaliar isso?

Bom, se ele quer que a soma das áreas seja mínima, nós precisamos primeiro achar as áreas, certo? Para isso, vamos supor que os dois pedaços de arame sejam x e y , assim temos:

x + y = 36

A partir daí vamos encontrar a área de cada figura, soma-las e verificar qual é a área mínima através do gráfico da equação que vamos obter. Vamos lá!

Passo 2

No passo 1 a gente supôs que os dois pedaços cortados são x e y . Beleza, agora com o pedaço x nós vamos construir um quadrado de lado a :

Lembra que o perímetro do quadrado é quatro vezes o lado? Então, nós temos o perímetro:

p q = 4 a

Mas o nosso pedaço tinha comprimento x , então:

4 a = x

Isolando a :

a = x 4

Passo 3

Agora com a parte y do arame, nós vamos construir o triângulo equilátero. O triangulo equilátero tem todos os lados iguais, lembra?

Então, o seu perímetro vai ser dado por:

p t = 3 L

Mas nós construímos o triângulo usando o pedaço de comprimento y , então:

3 L = y

Isolando L , nós temos:

L = y 3

Passo 4

Beleza, nós temos os lados e agora nós fazemos o quê? Agora nós calculamos as áreas! 😉

A área do quadrado e do triângulo equilátero são dadas pelas fórmulas:

A q = a 2

A t = 3 4 L 2

Onde a é o lado do quadrado e L o lado do triângulo, tá lembrado? Beleza, então agora nós podemos somar essas áreas substituindo os valores de a e L que nós encontramos nos passos anteriores. Assim:

A = A q + A t

A = a 2 + 3 4 L 2

Substituindo a = x 4 e L = y 3   :

A = x 4 2 + 3 4 y 3 2

A = x 2 16 + 3 y 2 36

O que a gente pode fazer pra deixar tudo em função de uma variável só? Nós podemos usar a relação do passo 1 , x + y = 36 , pra substituir y na fórmula da área:

x + y = 36 →     y = 36 - x

Substituindo:

A = x 2 16 + 3 36 - x 2 36

Expandindo o a potência:

A = x 2 16 + 3 1296 - 72 x + x 2 36

Colocando em um denominador comum:

A = 9 x 2 + 5184 3 - 288 3 x + 4 3 x 2 144

Arrumando:

A = ( 9 + 4 3 ) x 2 - 288 3 x + 5184 3 144

Agora que colocamos tudo em função de x , podemos achar a área mínima das figuras pelo gráfico dessa equação.

Passo 5

Percebe que a equação que nós encontramos é uma equação do segundo grau? Porque ela tem a forma: a x 2 + b x + c . Nesse caso, seu gráfico é dado pela parábola:

A gente não precisa saber desenhar o gráfico dessa função, apenas identificar que ele é uma parábola com a concavidade aberta para cima. E por quê? Porque o número que multiplica x 2 é positivo na função, no caso: ( 9 + 4 3 ) . Se ele fosse negativo, a parábola teria concavidade para baixo.

Mas pra quê a gente tem que saber isso? Porque a questão pede que a nossa área seja mínima, e através da função a gente consegue identificar que esse ponto de mínimo acontece ali embaixo, no vértice da parábola. Só falta a gente saber o valor desse ponto.

A coordenada x do vértice da parábola é dada pela fórmula:

x v = - b 2 a

No caso da nossa equação:

a x 2 + b x + c       →     ( 9 + 4 3 ) x 2 144 - 288 3 x 144 + 5184 3 144

Temos a = ( 9 + 4 3 ) 144 e b = - 288 3 144 . Substituindo isso na fórmula do vértice:

x v = - - 288 3 144 2 ∙ 9 + 4 3 144 = 288 3 144 9 + 4 3 72

Fazendo a divisão de frações e simplificando:

x v = 288 3 144 ∙ 72 9 + 4 3 = 144 3 9 + 4 3

Achamos a coordenada x do ponto de mínimo. A coordenada y nós podemos encontrar substituindo o x na equação dos segmentos, que nós vimos no passo 1 :

x + y = 36

y = 36 - x →     y = 36 - 144 3 9 + 4 3

Assim,

y = 36 9 + 4 3 - 144 3 9 + 4 3 = 324 + 144 3 - 144 3 9 + 4 3

E temos:

y = 324 9 + 4 3

Então, o nosso arame deve ser cortado em um segmento x = 144 3 9 + 4 3 para o quadrado e y = 324 9 + 4 3   para o triângulo.

É isso, galera! Encerramos o exercício! 😉

Resposta

144 3 9 + 4 3     e     324 9 + 4 3

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