Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

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Enunciado

12 - Dois lados de um triângulo têm 4 m e 5 m , e o ângulo entre eles está crescendo a uma taxa de 0,06 r a d / s . Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for π / 3 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O problema descreve um triangulo que tem dois lados de comprimento fixos, um de 4 m e outro de 5 m . O ângulo entre esses dois lados varia a uma taxa de 0,06 r a d / s e nosso objetivo é obter a taxa no qual a área está variando no momento em que o ângulo entre os lados de comprimento fixo for π / 3 .

Como podemos começar esse problema? 🤔

Passo 2

Primeiramente... como podemos obter a área desse triangulo?

Pra isso, temos que descobrir qual é a altura desse triangulo, já que sabemos que a area do triangulo é dado por

A = b · h 2

Se a base for o lado fixo de 5 m , podemos definir nosso triangulo como

Dessa forma, a altura h do triangulo pode ser obtido pela lei dos senos (o seno de um ângulo é igual a razão entre seu cateto oposto e sua hipotenusa)

s e n θ = h 4 → h = 4 s e n θ

Substituindo esse h na fórmula da área e sabendo que b é fixo como 5 m ...

A = 5 · 4 s e n θ 2

A = 20 s e n θ 2

A = 10 s e n θ

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Como estamos interessados em obter a taxa de variação da área com relação ao tempo, vamos derivar ambos os lados com relação a t

d A d t = d 10 s e n θ d t

d A d t = 10 d s e n θ d t

Como θ é uma função de t já que está variando, para derivar s e n θ temos que aplicar a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) ...

d A d t = 10 d s e n θ d θ d θ d t

d A d t = 10 cos ⁡ θ d θ d t

Queremos saber a variação da area quando θ = π / 3 e sabemos que a variação de θ é 0,06 r a d / s , logo

d A d t = 10 cos ⁡ π 3 0,06

d A d t = 3 10 c m 2 / s

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d A d t = 3 10 c m 2 / s

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