Exercícios Resolvidos de Intensidade de uma Onda Sonora

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Enunciado

Duas fontes pontuais, F 1   e   F 2 , estão localizados sobre o eixo x ,   à mesma distância da origem do sistema de coordenadas(ver figura). As fontes emitem ondas sonoras cujos deslocamentos são dados por:

s 1 r 1 , t = s 0 r 1 s e n k r 1 - 680 π t ;         s 2 r 2 , t = s 0 r 2 s e n k r 2 - 680 π t + φ ,   p a r a   y > 0

s 1 r 1 , t = s 2 r 2 , t = 0 ,     p a r a     y < 0   ( n ã o   h á   o n d a )

S 0 é uma constante, r 1   e   r 2 são as distâncias de F 1 e F 2 ao ponto de observação, respectivamente, r 1 e   r 2 são medidos em metros e t é medido em segundos.

Efetuando-se medidas de nível sonoro sobre pontos localizados sobre o semicírculo mostrado na figura, com centro na origem e raio r = 100 m , observou-se que a intensidade é nula em B , aumenta até atingir um valor máximo em A e volta a ser nulo em C .

  1. Obtenha o número de onda k e o comprimento de onda.
  2. Obtenha o valor da constante de fase, φ ,   da onda emitida pela fonte S 2 .
  3. Obtenha a distância entre as duas fontes.
  4. Sabendo que a potência sonora emitida por cada fonte é igual a 6,28.10 - 3 W , calcule a intensidade e o nível sonoro(em d B ) no ponto A caso apenas uma das fontes esteja emitindo. Considere r 1 = r 2 = r .
  5. Calcule a intensidade e o nível sonoro em A   no caso em que as duas fontes estão emitindo simultaneamente.

Dados:

v s o m = 340 m / s

I 0 = 10 - 12 W / m 2

l o g ⁡ ( 2 ) ≅ 0,30

Passo 1

a)

Pra achar a constante k , basta a gente usar a equação:

k v = ω → k = ω v

Pelas as equações, percebemos que ω = 680 π , assim:

k = 680 π 340 = 2 π

Usando a relação abaixo, obtemos o comprimento de onda:

k = 2 π λ = 2 π → λ = 1 m

Passo 2

b)

Pra descobrir a fase, vamos usar o fato de que as ondas geram interferências totalmente destrutivas em B   e   C .

Em B , r 1   e   r 2 valem:

r 1 = r + L

r 2 = r - L

Onde r é o raio e L a distância das fontes até a origem.

Como a soma das ondas tem que ser nula, podemos dizer que:

y 1 r 1 , t + y 2 r 2 , t = 0

s 0 r 1 s e n k r 1 - 680 π t + s 0 r 2 s e n k r 2 - 680 π t + φ = 0

s 0 r + L s e n k ( r + L ) - 680 π t + s 0 r - L s e n k ( r - L ) - 680 π t + φ = 0

Vamos seguir o mesmo procedimento em C , lembrando-se de recalcular r 1   e   r 2 :

r 1 = r - L

r 2 = r + L

s 0 r 1 s e n k r 1 - 680 π t + s 0 r 2 s e n k r 2 - 680 π t + φ = 0

s 0 r - L s e n k ( r - L ) - 680 π t + s 0 r + L s e n k ( r + L ) - 680 π t + φ = 0

Assim, por fim, temos as equações:

s 0 r + L s e n k ( r + L ) - 680 π t + s 0 r - L s e n k ( r - L ) - 680 π t + φ = 0

s 0 r - L s e n k ( r - L ) - 680 π t + s 0 r + L s e n k ( r + L ) - 680 π t + φ = 0

Vamos soma-las:

s 0 r + L s e n k ( r + L ) - 680 π t + s 0 r - L s e n k ( r - L ) - 680 π t + φ + s 0 r - L s e n k ( r - L ) - 680 π t + s 0 r + L s e n k ( r + L ) - 680 π t + φ = 0

Agrupando oos termos iguais:

s 0 r + L . s e n k r + L - 680 π t + s e n k r + L - 680 π t + φ + s 0 r - L s e n k r - L - 680 π t + s e n k r - L - 680 π t + φ = 0

As duas somas de senos acima precisam dar zero, assim:

s e n k r + L - 680 π t + s e n k r + L - 680 π t + φ = 0

s e n k r - L - 680 π t + s e n k r - L - 680 π t + φ = 0

Vamos usar, agora, a relação abaixo:

s e n A + s e n B = 2 s e n A + B 2 cos ⁡ A - B 2

Podemos aplicar em apenas uma das equações, já que a constante de fase é a mesma. Assim, aplicando na primeira:

s e n k r + L - 680 π t + s e n k r + L - 680 π t + φ = 2 s e n k r + L - 680 π t + φ 2 cos ⁡ φ 2 = 0

Essa somaa precisa ser nula para qualquer tempo t , então:

2 s e n k r + L - 680 π t + φ 2 cos ⁡ φ 2 = 0 ,   p a r a   q u a l q u e r   t

cos ⁡ φ 2 = 0 → φ 2 = k π 2 → φ = k π

Pronto (:

Passo 3

c)

Precisamos descobrir o valor de 2 L ( já que a distância de cada fonte à origem vale L , a distância entre elas vale 2 L ) .

Podemos usar a equação das interferências sonoras. Primeiro, aplicamos para o caso em que há um interferência totalmente destrutiva, como no ponto B . Assim, a equação tem o formato:

∆ L λ = 2 m + 1 2

Com:

λ = 1

Quanto vale ∆ L ? Usando o valor de r 1   e   r 2 :

r 1 = L + r

r 2 = r - L

Assim:

∆ L = r 1 - r 2 = 2 L

Assim:

2 L 1 = 2 m + 1 2

Mas não sabemos o valor de m . Podemos então usar o ponto onde há interferência totalmente construtiva, o ponto A .

Nesse ponto, as distâncias até a circunferência são iguais, portanto:

r 1 = r 2 → ∆ L = r 1 - r 2 = 0

Como a interferência é construtiva, o formtao da equação é:

∆ L λ = 2 m

0 λ = 0 = 2 m → m = 0

Assim:

2 L = 2.0 + 1 2 = 0,5

2 L = 0,5 m → L = 0,250   m

Passo 4

d)

Nesse caso, a intensidade pode ser calculada por:

I = P 2 π r 2 = 6,28.10 - 3 2 . 3,14 . 100 2 = 10 - 3 10 4 = 10 - 7 W / m 2

Repara que aqui eu to usando a área de meia esfera, porque não temos onda em y < 0 .

Assim, o nível sonoro será:

β = 10 log ⁡ I I 0 = 10 log ⁡ 10 - 7 10 - 12 = 10 log ⁡ 10 5 = 50   d B

Passo 5

e)

Nesse caso, vamos considerar I 1 = I 2 e vamos usar a equação abaixo pra calcular a intensidade da onda resultante, levando-se em consideração a diferença de fase:

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 c o s ∅ 1 - ∅ 2  

Onde :

∅ 1 - ∅ 2 = π

Assim:

I = 10 - 7 + 10 - 7 + 2 . 10 - 7 10 - 7 cos ⁡ k π

Como a intensidade ali é máxima, não podemos deixar que :

k π = π ,   3 π , 5 π , e t c

Assim:

k π = 0,2 π , 4 π → cos ⁡ k π = 1

Assim:

I = 10 - 7 + 10 - 7 + 2 . 10 - 7 10 - 7 . 1

I = 2.10 - 7 + 2.10 - 7 = 4.10 - 7 W / m 2

Assim, o nível sonoro será:

β = 10 log ⁡ I I 0 = 10 log ⁡ 4.10 - 7 10 - 12 = 10 log ⁡ 4.10 5 = 10 log ⁡ 2 2 + 10 log ⁡ 10 5

20 log ⁡ 2 + 10 log ⁡ 10 5 = 20 . 0,3 + 50 = 6 + 50 = 56   d B

Resposta

a)

k = 2 π

λ = 1 m

b)

φ = k π

c)

2 L = 0,5 m

d)

I = 10 - 7 W / m 2

β = 50   d B

e)

I = 4.10 - 7 W / m 2

β = 56   d B

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