Exercícios Resolvidos de Intensidade de uma Onda Sonora

Ver Teoria

Enunciado

Na figura ao lado, são mostradas três instantes de tempos diferentes ( t = 0 ,   t = 0,5 s t = 1 s ) da função y x , t que descreve uma onda harmônica propagando-se em uma corda no sentido negativo de x .

Com base nas informações do gráfico:

  1. Calcule o comprimento de onda, o período e a velocidade da onda ( Justifique).
  2. Se a tensão na corda é 0,25 N , calcule a densidade linear de massa da corda.
  3. Escreva a expressão para o perfil da onda y x , t .
  4. Calcule a velocidade e a aceleração transversais máximas de um elemento da corda.
  5. Calcule a intensidade (ou seja, a potência média) da onda na corda.

Passo 1

a):

Bom, pra determinar o comprimento da onda, basta você perceber que existem 2 λ em 1 m . Como isso? Bom, vamos dar uma olhada na onda preta.

Em t = 0 , começa o primeiro comprimento de onda, que depois se repete em um momento em que a distância tá um pouco depois de 0,4 m . Depois ele se repete de nova e acaba igualzinho lá no fim de 1 m .

Então:

2 λ = 1 → λ = 0,5 m

Pra calcular a velocidade, podemos olhar o quanto ela percorreu em um segundo. Dê uma olhada no gráfico. A onda vermelha pontilhada representa a onda no instante t = 1 s e a onda preta a onda no instante t = 0 s . Você vai notar que ali logo no início do gráfico, a onda vermelha parou embaixo da onda preta. Logo, ela percorreu meio comprimento de onda ( λ 2 ) .

Então:

v = ∆ S ∆ t = λ 2 1 = λ 2 = 0,5 2 = 0,25 m / s = 1 4 m / s

Mas tendo a velocidade e o comprimento de onda, podemos calcular o período assim:

v = λ T → T = λ v = 0,5 0,25 = 2 s

T = 2 s

Passo 2

b):

Opa, aqui é só usar aquela equação:

v = F μ

μ = F v 2 = 0,25 0,25 2 = 16.0,25 = 4 k g / m

Passo 3

c):

Galera, a forma geral da equação de uma onda que se propaga na direção negativa de x é:

y x , t = A c o s k x + ω t + φ

Bom, por causa do período e do comprimento que já sabemos, fica fácil descobrir ω e k :

ω = 2 π T = 2 π 2 = π

k = 2 π λ = 2 π 0,5 = 4 π

Agora precisamos achar φ . Podemos pegar o valor de y x , t quando x = t = 0 :

y 0,0 = A c o s φ = 0 → φ = ∓ π 2

A gente viu que dá zero olhando no gráfico. Também pelo gráfico, dá pra perceber que a amplitude é:

A = 2 m

Mas ainda não sabemos o valor da fase. Vamos derivara função em relação à x e aplica-la no ponto x = 0 , t = 0 :

∂ y x , t ∂ x = - k A s e n k x + ω t + φ

∂ y 0,0 ∂ x = - k A s e n φ > 0 → s e n φ < 0 → φ = - π 2

Pronto! Como a gente sabe que no ponto 0,0 o valor dessa derivada é maior que zero? Basta olhar a tangente à curva quando t = 0 (No caso, será a curva preta). Essa derivada ∂ y x , t ∂ x sempre representa essa tangente se o gráfico for y   v s   x .

Então, juntando as informações:

y x , t = 2 cos ⁡ 4 π x + π t - π 2 = 2 s e n ( 4 π x + π t )

Passo 4

d):

A velocidade transversal de um elemento da corda é sempre a derivada da função de onda em relação ao tempo:

∂ y x , t ∂ t = 2 π cos ⁡ 4 π x + π t = v y

O máximo da função ocorre pra cos ⁡ 4 π x + π t = 1 , então:

v y 0,0 = 2 π   m / s

E a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

a y = ∂ v y x , t ∂ t = - 2 π 2 s e n ( 4 π x + π t )

O máximo também ocorre pra s e n 4 π x + π t = 1 , então, a aceleração máxima em módulo é:

a y = 2 π 2   m / s 2

Passo 5

e):

A intensidade de uma onda é dada por:

I = 1 2 μ v ω 2 A 2

Então:

I = 1 2 . 4.1 4 . π 2 . 4 = 2 π 2   W

Resposta

a):

v = 1 4 m / s

λ = 0,5   m

T = 2 s

b):

μ = 4 k g / m

c):

y x , t = 2 s e n ( 4 π x + π t )

d):

v y 0,0 = 2 π   m / s

a y = 2 π 2   m / s 2

e):

I = 2 π 2   W

Exercícios de Livros Relacionados

Uma fonte produz uma onda senoidal de frequência angular 3000 r a d / s e amplitude 12 n m em um tubo de ar. O raio interno do tubo é 2 c m . ( a ) Qual é a taxa média com a qual a energia (soma das e
Uma onda sonora com uma frequência 300H z tem uma intensidade de 1,00μ W / m 2 . Qual é a amplitude das oscilações do ar causadas pela onda?
Em um certo ponto, duas ondas produzem variações de pressão dadas por Δ p 1 = Δ p m s e n ( ω t ) e Δ p 2 = Δ p m s e n ( ω t - ϕ ) . Nesse ponto, qual é a razão Δ p r / Δ p m , onde Δ p r é a amplitu
Uma fonte pontual emite 30,0W de som isotropicamente. Um pequeno microfone intercepta o som em uma área de0,750c m 2 , a 200m de distância da fonte. Calcule (a) a intensidade sonora nessa posição e (b
Qual é a razão entre o nível de intensidade de uma conversação normal e o nível de intensidade sonora de um murmúrio (a uma distância de 5,0 m )? (a) 10 3 (b) 2 (c) 10 - 3 (d) 1 2